Problema de distribución normal: puntajes z (de ck12.org)

aquí tenemos un segundo problema del libro estadística de ape de secado ce punto org el cual es esencialmente un libro de libre distribución lo estoy usando para que practiquemos con algunos problemas de estadística aquí tenemos el número 2 las calificaciones semestrales de estadística para una preparatoria se distribuyen normalmente con una media de 81 y una desviación estándar de 6.3 calcula los puntajes z para cada una de las siguientes calificaciones elabora y etiqueta una gráfica para cada caso y probablemente lo podemos hacer en la misma gráfica pero lo primero que vamos a hacer es recordar qué es lo que es un puntaje z y qué es un puntaje z un puntaje z es una medida para evaluar cuántas desviaciones estándar ha alejado de la media de la media así de simple así que tenemos que calcular a cuantas desviaciones estándar están de la media estos amigos y ese es su puntaje z empecemos con el inciso a para el inciso a tenemos 65 para empezar vamos a calcular qué tan alejado está 65 de la media voy a hacer aquí una gráfica la cual podemos utilizar todo el tiempo así es que esta va a ser nuestra distribución tenemos una media de 81 esa es nuestra media y una desviación estándar de 6.3 nos dicen que es una distribución normal vamos a hacer una linda curva de campana la correspondiente una distribución normal aquí tenemos la mejor curva que yo soy capaz de hacer aquí tenemos la media que es de 81 y la desviación estándar de 6.3 vamos a tomar arriba de la media 6.3 y 6.3 por abajo de la media así que si nos movemos 6.3 en la dirección positiva este valor aquí va a ser 87.3 y si nos movemos 6.3 en la dirección negativa llegamos a cuanto 74.7 correcto si sumamos 6 regresamos 80.7 y luego punto 3 nos va a llevar a 81 si es que eso es una desviación estándar abajo y arriba de la media si agregamos dos desviaciones estándar por arriba y por abajo y así sucesivamente es sería la gráfica la distribución normal calculemos entonces los des puntajes z para cada una de estas calificaciones empecemos con 65 qué tan lejos está 65 de la media 65 va a estar en algún lugar por aquí lo primero que tenemos que hacer es qué tan lejos está así que la distancia es y quieres que sea número positivo bueno de hecho queremos un número negativo porque el puntaje z va a ser positivo o negativo negativo significa que está a la izquierda de la media y positivo significa que está a la derecha de la media tenemos entonces 65 menos 81 y esa es la distancia a la que está el valor con respecto a la media pero lo que queremos es tenerlo con respecto a la desviación estándar lo dividimos entonces entre 6.3 que es que tantas desviaciones estándar está ese valor y esto nos va a dar igual la verdad amos 81 - 65 esto va a ser menos 16 sobre 6.3 sacamos nuestra calculadora y dividimos menos 16 entre 6.3 y nos da menos 2.53 9 que ya redondeando esto nos da aproximadamente igual a menos 254 ese es el puntaje z para una calificación de 65 bastante inmediato el proceso y si sobre 83 una calificación de 83 entonces 83 - 81 la distancia de 83 a la media esos son dos calificaciones por cierto aquí tenemos el inciso al que obtuvimos que es menos 2.54 desviaciones estándar es decir aquí tenemos una 2 y media aproximadamente aquí tenemos entonces el inciso a entonces tenemos aquí 83 81 dos calificaciones por arriba de la media lo dividimos entre la desviación estándar que 6.3 esto nos va a dar igual sacamos la calculadora y nos da 83 menos 81 es 2 dividido entre 6.3 esto nos da aproximadamente igual a 0.32 punto 32 entonces 83 está a punto 32 desviaciones estándar por arriba de la media aproximadamente un tercio una desviación estándar si esto es una desviación estándar entonces estamos a punto tres desviaciones estándar con respecto a la media inciso c 93 hacemos lo mismo a cuánto está 93 de la media es 93 menos 81 esto nos da igual a 12 pero lo que haremos en términos de desviaciones estándar entonces 12 a cuántas direcciones estándar arriba la media esta es va a ser casi 2 déjame sacar la calculadora obtenemos 12 dividido entre 6.3 es 1.9 desviaciones estándar su puntaje set es 1.9 lo que significa que está 1.9 desviaciones estándar entonces aquí tenemos una desviación estándar y aquí tenemos punto 9 desviaciones estándar entonces aquí ubicaríamos una calificación de 9.3 su puntaje set es 1.9 lo que significa que está 1.9 desviaciones estándar arriba de la media hagamos el último una calificación de 100 lo voy a hacer magenta inciso de 100 bueno el mismo procedimiento cuanto está haciendo la media 100 menos 81 y dividido entre la magnitud entre el valor entre la cantidad que representa la desviación estándar que 6.3 esto va a ser igual 100 menos 81 de 19 entre 6.3 va a ser un valor ligeramente mayor que 3 y en el próximo problema veremos qué implica eso en términos de probabilidad de que ocurra por lo pronto vamos a calcular el valor de z que sería 19 entre 6.3 y esto nos da tres puntos 01 de hecho 3.0 2 y redondeamos el más cercano a 3.02 así que el puntaje set es 3.02 o una calificación de 100 está a 3.02 desviaciones estándar arriba de la media así que recuerda aquí tenemos la media una media de 81 aquí tenemos una desviación estándar arriba de la media 2 desviación está arriba la media 3 desviación estándar arriba la media está por aquí aquí estamos ligeramente arriba de 3 23.02 aquí es donde tendríamos ubicado una calificación de 100 y puedes ver que la probabilidad que es esta altura es muy muy baja es lo que nos dice la gráfica de hecho no es tan solo muy baja la probabilidad de obtener un valor mayor que esto porque como ya sabemos en una función densidad de probabilidad si esto fuera continua no discreta al problema obtener exactamente eso es cero pero dado que son calificaciones de una prueba sabemos que de hecho es una función de probabilidad discreta pero al ver donde estamos ubicados en la curva de campana la probable a obtener un valor mayor que este es muy baja en fin espero que te haya quedado claro cómo obtener puntaje z lo cual es un proceso matemático bastante sencillo en el próximo vídeo interpretaremos un poco más puntaje 7 probabilidades