Probabilidad condicional e independencia

En probabilidad, decimos que dos sucesos son independientes si el saber que un acontecimiento ocurrió no cambia la probabilidad del otro evento.

Por ejemplo, la probabilidad de que una moneda justa caiga en "águila" es $1/2$1, slash, 2. ¿Y si supiéramos que ese día era martes? ¿Eso cambiaría la probabilidad de obtener "águila"? Claro que no. La probabilidad de obtener "águila", dado que es martes, sigue siendo $1/2$1, slash, 2. Así que el resultado de lanzar una moneda y que el día sea martes son eventos independientes; saber que era martes no cambia la probabilidad de obtener "águila".

No toda situación es así de obvia. ¿Qué pasará con el género y el uso de las manos (zurdo vs derecho)? Puede parecer que el género de una persona y si es o no zurda son eventos totalmente independientes. Sin embargo, cuando nos fijamos en las probabilidades, vemos que el $10\%$10, percent de todas las personas son zurdas, pero cerca del $12\%$12, percent de los hombres son zurdos. Así que estos eventos no son independientes, pues saber que una persona aleatoria es varón aumenta la probabilidad de que sea zurdo.

La idea principal es que comprobamos la independencia con probabilidades.

Dos eventos, A y B, son independientes si $P(\text{A } | \text{ B})=P(\text{A})$P, left parenthesis, start text, A, space, end text, vertical bar, start text, space, B, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis y $P(\text{B } | \text{ A})=P(\text{B})$P, left parenthesis, start text, B, space, end text, vertical bar, start text, space, A, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, B, end text, right parenthesis.

Investigadores encuestaron a recién graduados de dos universidades diferentes sobre sus ingresos anuales. La siguiente tabla de contingencia exhibe datos de los $300$300 graduados que respondieron la encuesta.

Supongamos que de estos datos elegimos aleatoriamente a un graduado.

Vamos a revisarlo usando probabilidad condicional.

Aquí están los mismos datos del ejemplo anterior:

Supongamos que de estos datos elegimos aleatoriamente a un graduado.

Vamos a revisarlo usando probabilidad condicional.

Cuando comprobamos la independencia en conjuntos de datos del mundo real, es raro obtener probabilidades perfectamente iguales. Casi todos los eventos reales que no involucran juegos de azar son dependientes en cierto grado.

En la práctica, a menudo suponemos que los eventos son independientes y probamos esa suposición con datos muestrales. Si las probabilidades son significativamente diferentes, entonces concluimos que los eventos no son independientes. Vamos a aprender más acerca de este proceso en estadística inferencial.

Por último, ten cuidado de no hacer conclusiones sobre causa y efecto a menos que los datos procedan de un experimento bien diseñado. A manera de desafío, ¿puedes pensar en algunas variables externas —aparte de las universidades— que puedan ser la causa de la disparidad de ingresos entre los graduados en las dos universidades del Ejemplo 2?