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Fórmulas de la media y de la varianza de la distribución de Bernoulli

Esta es la continuación del video anterior. Vamos a derivar las fórmulas de la media y la varianza de la distribución de Bernoulli. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

en el vídeo pasado encontramos la esperanza la varianza y la desviación estándar de la distribución bernouilli con números específicos 40 y 60 lo que voy a hacer en este vídeo es encontrar la esperanza y la varianza de una variable bernouilli cuando no tenemos estos números ok cuando lo único que tenemos es que la probabilidad de éxito es p y la probabilidad de fracaso es 1 - p ok entonces bueno a ver vamos a dibujar la función de distribución de probabilidades entonces la probabilidad de éxito que vamos ahora a asociar con el 1 bueno definirlo con el 1 ya tiene una probabilidad p y la probabilidad de fracaso que ahora va a ser el cero 1 - p lo que sea que eso sea ahora si sumamos esos 2 lo que nos da es uno que es el 100% y eso es exactamente lo que tiene que pasar porque cualquier experimento tiene que ser un éxito y algo que no sea un éxito lo cual es un fracaso ok bien entonces si hay 40 por ciento de probabilidad de tener un éxito tiene que haber 60 por ciento de probabilidad de que haya un fracaso esta es la definición más general de una variable berlín de la distribución berlín ahora lo que vamos a hacer es calcular la esperanza de esta variable que también se llama media y la varianza también lo cual es la esperanza de la distancia de la variable a su media entonces a ver empecemos con la esperanza cual es la esperanza cuál es la media bueno la esperanza es la suma de los valores que puede tomar por la probabilidad que tome cada uno de esos valores entonces tenemos una probabilidad de 1 p de obtener un fracaso ahora estamos llamándole 0 al fracaso entonces tenemos 1 - p x 0 más la probabilidad de obtener un 1 que espe el 1 es el éxito por la variable que es 1 es muy fácil de calcular no o sea cualquier cosa por cero es cero y cualquier post cosa por uno es esa misma cosa entonces en total nuestra media es simplemente p nuestra media nuestra esperanza espe y pues estar por acá y sabemos que nuestra variable no puede tomar ese valor pero pues sigue siendo nuestra esperanza entonces ahora vamos con la varianza y la varianza es la esperanza de la distancia de la variable de la historia a la media y después eso todo eso al cuadrado pero pues tenemos que desarrollar la suma bueno tenemos que desarrollar la esperanza entonces la probabilidad de obtener un 0 es 1 - p y luego tenemos que multiplicar por la distancia del 0 a la media al cuadrado no entonces aquí es cero - que es el valor que está tomando la variable 0 - nuestra media que es p a ver déjame el cambio del color naranja quedará bien yo creo que no mejor le ponemos un blanco entonces pero no es menos nuestra media que esté más la probabilidad de obtener un 1 lo cual es p por la distancia de 1 a la media oigan espérense aquí se nos olvidó lo tenemos que elevar al cuadrado porque son las distancias al cuadrado a ver entonces cuál es la distancia de nuestra variable cuando toma el valor 1 a la media pues es 1 - p y luego lo tenemos que elevar al cuadrado también no entonces lo elevamos al cuadrado esta es la varianza ok entonces bueno a ver vamos a desarrollarla 1 - p x tenemos 0 - p al cuadrado lo cual es menos p al cuadrado pero eso es simplemente p cuadrada más ok te por 1p al cuadrado desarrollamos lo que lo que nos queda es 1 al cuadrado que es 1 - 2 de este por este baja lo cual son menos 2 p2p y luego más menos p al cuadrado es nada más p cuadrada otra vez entonces vamos a multiplicar estos términos para que quede en la forma más simple este término de aquí es p cuadrada - p cúbica y luego este otro término es p pero por 1 - 2 pp que es menos 2p cuadrado y luego p por p cuadrada que este al cubo ahora podemos simplificar esto pedal a 3 se cancela con menos para 3 y luego hay otros dos que se cancelan por ahí entonces al final lo que nos queda es esta p baja y después p cuadrada menos 2 p cuadrada lo cual nos queda simplemente - p cuadrada y le podemos factorizar una p entonces nos queda p x / p que es 1 - p cuadrada entre p que nos queda nada más p lo cual es una expresión muy sencilla bonita y elegante entonces bueno no está varianza es por 1 - p si queremos sacar la desviación estándar lo único que tenemos que hacer es sacar la raíz a la varianza lo cual es igual a la raíz de p por 1 - p y podemos verificar que lo que hicimos aquí es congruente con lo que hicimos en el vídeo pasado en el ejemplo nuestra esperanza es p que es exactamente la probabilidad de obtener un éxito que es punto 6 y sabemos que nuestra varianza es exactamente p por 1 - p que es la probabilidad de éxito por la probabilidad de fracaso en este caso eran punto 4 la probabilidad de fracaso y punto 6 la probabilidad de éxito que si las multiplicamos nos quedan punto 24 y luego si le sacamos raíz pues nos queda la desviación estándar igual que en el vídeo pasado espero que lo encuentres útil nosotros lo vamos a usar muchísimo para hacer inferencia estadística