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Contenido principal

El valor esperado de una variable binomial

Derivación y uso de la fórmula de valor esperado (media) para variables aleatorias binomiales.

Transcripción del video

aquí tenemos una variable binomial x y la voy a definir de la siguiente manera la voy a definir como el número de éxitos después de n ejecuciones déjenme notar eso el número de éxitos después de n ejecuciones donde la probabilidad de éxito para cada ejecución independiente es p déjame ponerlo también donde la probabilidad de éxito para cada ejecución independiente es p y creo que esta es una forma razonable de describir cualquier variable binomial donde suponemos que cada una de estas ejecuciones son independientes la probabilidad es constante es siempre p tenemos un número fijo de ejecuciones n y el resultado de cada ejecución puede ser un éxito o un fracaso pero en este vídeo nos vamos a enfocar en cuál será el valor esperado de esta variable binomial x es decir vamos a buscar cuánto es el valor esperado de esta variable binomial x y esta vez voy a quitar la atención y te voy a dar la respuesta posteriormente en este vídeo vamos a demostrar por qué es así el valor esperado de esta variable binomial x será igual al número de ejecuciones por la probabilidad de éxito de cada una de estas ejecuciones n por pep así que imaginemos un escenario voy a decir que en este escenario cada ejecución es un tiro penal déjame escribirlo ok vamos a hablar de fútbol y como estamos hablando de fútbol éxito es meter gol entonces déjame escribirlo donde éxito es anotar un gol y vamos a decir que la probabilidad de meter gol es de p es decir p es el porcentaje de tiros penales que terminan en gol voy a suponer que es igual al 30% ok hola podemos ver como un 0.3 de lujo y también supongamos que vamos a tirar 10 penales entonces n va a ser igual am 10 y espero que esto te dé una idea más concreta así que en este escenario particular el valor esperado de x va a ser igual y bueno es el número de goles después de tirar estos 10 penales cuando un porcentaje de gol por tiro penal del 30 por ciento basándonos en lo que acabo de escribir acá arriba bueno esto será n por pep es decir el número de ejecuciones que ya vimos es 10 y estos multiplicarlo por la probabilidad de meter goles en una ejecución que como vimos es 0.3 y 10 por 0.3 bueno eso es muy fácil es 3 parece bastante natural pensar que se esperan 3 goles ahora para estar completamente seguros que esto es cierto qué te parece si lo demostramos usando algunas propiedades del valor esperado en particular voy a pensar en la propiedad que dice que el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias independientes supongamos x y james esto va a ser igual al valor esperado de la primera de ellas ok más el valor esperado de la segunda de ellas y esta propiedad es muy importante y ya la hemos visto en otros vídeos así que suponiendo esta propiedad qué te parece si construimos una nueva variable aleatoria ya esta nueva variable aleatoria le voy a poner el nombre de james y sabemos algunas cosas de esta nueva variable y sabemos que la probabilidad de que que sea igual a 1 va a hacer de bueno voy a decir que es p ok y la probabilidad de que james sea igual a cero voy a decir que es bueno 1 - p 1 - p ok y estas dos son las únicas posibles salidas para esta variable aleatoria de modo que ya puedes ver a dónde vamos porque puedes pensar que esta variable aleatoria solo te da una ejecución donde obtienes uno si tienes éxito o cero si fracasas por lo tanto puedes ver a nuestra variable aleatoria original déjame ponerlo aquí nuestra variable aleatoria original x como g más [Aplausos] más y así me voy a mantener sumando y es tantas como en veces porque tenemos en ejecución es entonces déjame ponerlo aquí tengo en 10 en 10 de manera específica en este ejemplo en particular puedes pensar que obtienes uno si metes un gol o cero si fallas el penal y entonces tienes diez ejecuciones que representa el resultado de cada ejecución y puedes ver a x como la suma de estas n ejecuciones y lo que realmente queremos hacer es demostrar esta igualdad bien entonces veamos acá abajo tomemos el valor esperado de ambos lados así que obtengo lo siguiente el valor esperado de x ok esto va a ser igual al valor esperado de bueno de todo esto pero si usamos esta propiedad puedo escribir lo como el valor esperado de i más el valor esperado de g y así me voy a mantener sumando y sumando y sumando tanto como n veces el valor esperado de yen y por lo tanto puedo decir que todas estas de aquí son n déjame ponerlo todas estás de aquí son n así que podemos escribir esto como n veces el valor esperado de iu y por lo tanto solo falta saber cuál es el valor esperado de esta variable y y bueno esto es muy sencillo lo podemos obtener directamente de aquí déjame escribirlo el valor esperado de esta variable que se obtienen simplemente ponderando los resultados por su probabilidad y como solamente tenemos dos posibles resultados discretos es muy fácil de calcular va a ser la probabilidad p déjame ponerla la probabilidad de que multiplican al primero de los resultados lo cual es 1 por 1 ya esto le sumamos la probabilidad de 1 p la probabilidad de 1 - p de obtener el otro resultado que es 0 entonces la probabilidad 1 - p de obtener 0 y bueno esto es muy fácil de aquí me quedan estos dos se eliminan porque lo estoy multiplicando por cero y simplemente me quedan 1 por p lo cual es p y ya está el valor esperado de y es simplemente p y es justo lo que queríamos porque ahora en lugar de esto puedo escribir ahora a p déjame ponerlo esto es p y por lo tanto ya llegamos al resultado que queríamos el valor esperado de esta variable aleatoria binomial x va a ser simplemente que multiplica a p y es justo a donde queríamos llegar a demostrar esta igualdad espero que esto te haga sentir feliz saludos