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Estadística y probabilidad

Curso: Estadística y probabilidad > Unidad 9

Lección 5: Variables aleatorias binomiales
Matemáticas
Estadística y probabilidad
Variables aleatorias
Variables aleatorias binomiales
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Probabilidad binomial (básico)

Google Classroom

Problema 1: construir la idea intuitiva con tiros libres

Steph encesta el 90, percent de los tiros libres que hace. Tiene 3 tiros libres. Supón que los resultados de los tiros libres son independientes entre sí.
Ella quiere encontrar la probabilidad de que enceste exactamente 2 de los 3 tiros libres.
Para pensar este problema, vamos a descomponerlo en partes más pequeñas.
problema A
Si ella encesta 2 de los tiros libres, ¿cuántos tiros libres necesita fallar?
Escoge 1 respuesta:

problema b
Encuentra la probabilidad de que enceste sus primeros 2 tiros libres y falle el tercero.
De ser necesario, redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, comma, space, e, n, c, e, s, t, a, comma, space, f, a, l, l, a, end text, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema c
"Encesta, encesta, falla" no es la única manera en la que Steph puede anotar 2 tiros libres en 3 intentos.
Encuentra la probabilidad de que enceste el primer tiro libre y falle el segundo y enceste el tercero.
De ser necesario, redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, comma, space, f, a, l, l, a, comma, space, e, n, c, e, s, t, a, end text, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema d
Steph también podría anotar 2 tiros libres si sus resultados son "falla, encesta, encesta".
Encuentra la probabilidad de que falle su primer tiro libre y enceste los otros dos.
De ser necesario, redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
P, left parenthesis, start text, f, a, l, l, a, comma, space, e, n, c, e, s, t, a, comma, space, e, n, c, e, s, t, a, end text, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

problema E
Usa la fórmula de combinaciones para comprobar que estas 3 maneras representan todas las formas en las que podemos obtener 2 anotaciones en 3 intentos.
start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, equals, start fraction, n, !, divided by, left parenthesis, n, minus, k, right parenthesis, !, dot, k, !, end fraction
start subscript, 3, end subscript, start text, C, end text, start subscript, 2, end subscript, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
maneras.

problema f
Ahora pon todo junto para encontrar la probabilidad de que ella enceste exactamente 2 de 3 tiros libres.
De ser necesario, redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, space, 2, space, d, e, space, 3, space, t, i, r, o, s, space, l, i, b, r, e, s, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, E, space, end text, start text, E, space, end text, start text, F, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, E, space, end text, start text, F, space, end text, start text, E, end text, right parenthesis, plus, P, left parenthesis, start text, F, space, end text, start text, E, space, end text, start text, E, end text, right parenthesis
P, left parenthesis, start text, e, n, c, e, s, t, a, space, 2, space, d, e, space, 3, space, t, i, r, o, s, space, l, i, b, r, e, s, end text, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Generalización a partir del problema 1: construir una fórmula para uso futuro

En el problema 1 vimos que distintos acomodos del mismo resultado tenían la misma probabilidad.
Podemos construir una fórmula para este tipo de problema, que se llama un ajuste binomial. Un problema de probabilidad binomial tiene estas características:
  • un número determinado de intentos left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis
  • cada ensayo puede clasificarse como un "éxito" o "fracaso"
  • la probabilidad de éxito left parenthesis, start color #1fab54, p, end color #1fab54, right parenthesis es la misma para cada ensayo
  • los resultados de cada ensayo son independientes uno del otro
Aquí está un resumen de nuestra estrategia general para la probabilidad binomial:
P(# de éxitosobtener exactamente algún)=(acomodos# de)⋅(de éxitoprobabilidad)(éxitos# de)⋅(de fracasoprobabilidad)(fracasos# de)
Usar el ejemplo del problema 1:
  • n, equals, 3 tiros libres
    • cada tiro libre es un "enceste" (éxito) o una "falla" (fracaso)
  • la probabilidad de que enceste un tiro libre es start color #1fab54, p, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 0, point, 90, end color #1fab54
  • supón que los tiros libres son independientes
P(encesta 2 de 3 tiros libres)= 3C2⋅(0.90)2⋅(0.10)1=3⋅0.81⋅0.10=3⋅0.081=0.243\begin{aligned}P(\text{encesta 2 de 3 tiros libres}) &= \, _3\text{C}_2 \cdot(\greenD{0.90})^{2} \cdot (\maroonD{0.10})^1 \\ \\ &=3\cdot0.81\cdot0.10 \\ \\ &=3\cdot0.081 \\ \\ &=0.243\end{aligned}

En general...

P, left parenthesis, start text, e, x, a, c, t, a, m, e, n, t, e, space, end text, k, start text, space, e, with, \', on top, x, i, t, o, s, end text, right parenthesis, equals, start subscript, n, end subscript, start text, C, end text, start subscript, k, end subscript, dot, p, start superscript, k, end superscript, dot, left parenthesis, 1, minus, p, right parenthesis, start superscript, n, minus, k, end superscript
Intenta usar estas estrategias para resolver otro problema.

Problema 2

El hermano pequeño de Steph, Lucas, solo tiene una oportunidad del 20, percent de encestar un tiro libre. Va a lanzar 4 tiros libres.
¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 2 de los 4 tiros libres?
P, left parenthesis, start text, e, x, a, c, t, a, m, e, n, t, e, space, 2, space, e, n, c, e, s, t, e, s, end text, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema de desafío

Steph se compromete a comprarle a Lucas un helado si encesta 3 o más de sus 4 tiros libres.
¿Cuál es la probabilidad de que enceste 3 o más de los 4 tiros libres?
P, left parenthesis, start text, 3, space, o, space, m, a, with, \', on top, s, space, e, n, c, e, s, t, e, s, end text, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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