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Curso: Estadística y probabilidad > Unidad 9

Lección 5: Variables aleatorias binomiales
Matemáticas
Estadística y probabilidad
Variables aleatorias
Variables aleatorias binomiales
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Probabilidad binomial (básico)

Google Classroom

Problema 1: construir la idea intuitiva con tiros libres

Steph encesta el 90% de los tiros libres que hace. Tiene 3 tiros libres. Supón que los resultados de los tiros libres son independientes entre sí.
Ella quiere encontrar la probabilidad de que enceste exactamente 2 de los 3 tiros libres.
Para pensar este problema, vamos a descomponerlo en partes más pequeñas.
problema A
Si ella encesta 2 de los tiros libres, ¿cuántos tiros libres necesita fallar?
Escoge 1 respuesta:

problema b
Encuentra la probabilidad de que enceste sus primeros 2 tiros libres y falle el tercero.
De ser necesario, redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
P(encesta, encesta, falla)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

problema c
"Encesta, encesta, falla" no es la única manera en la que Steph puede anotar 2 tiros libres en 3 intentos.
Encuentra la probabilidad de que enceste el primer tiro libre y falle el segundo y enceste el tercero.
De ser necesario, redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
P(encesta, falla, encesta)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

problema d
Steph también podría anotar 2 tiros libres si sus resultados son "falla, encesta, encesta".
Encuentra la probabilidad de que falle su primer tiro libre y enceste los otros dos.
De ser necesario, redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
P(falla, encesta, encesta)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

problema E
Usa la fórmula de combinaciones para comprobar que estas 3 maneras representan todas las formas en las que podemos obtener 2 anotaciones en 3 intentos.
nCk=n!(n−k)!⋅k!
3C2=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
maneras.

problema f
Ahora pon todo junto para encontrar la probabilidad de que ella enceste exactamente 2 de 3 tiros libres.
De ser necesario, redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
P(encesta 2 de 3 tiros libres)=P(E E F)+P(E F E)+P(F E E)
P(encesta 2 de 3 tiros libres)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Generalización a partir del problema 1: construir una fórmula para uso futuro

En el problema 1 vimos que distintos acomodos del mismo resultado tenían la misma probabilidad.
Podemos construir una fórmula para este tipo de problema, que se llama un ajuste binomial. Un problema de probabilidad binomial tiene estas características:
  • un número determinado de intentos (n)
  • cada ensayo puede clasificarse como un "éxito" o "fracaso"
  • la probabilidad de éxito (p) es la misma para cada ensayo
  • los resultados de cada ensayo son independientes uno del otro
Aquí está un resumen de nuestra estrategia general para la probabilidad binomial:
P(# de éxitosobtener exactamente algún)=(acomodos# de)⋅(de éxitoprobabilidad)(éxitos# de)⋅(de fracasoprobabilidad)(fracasos# de)
Usar el ejemplo del problema 1:
  • n=3 tiros libres
    • cada tiro libre es un "enceste" (éxito) o una "falla" (fracaso)
  • la probabilidad de que enceste un tiro libre es p=0.90
  • supón que los tiros libres son independientes
P(encesta 2 de 3 tiros libres)=3C2⋅(0.90)2⋅(0.10)1=3⋅0.81⋅0.10=3⋅0.081=0.243

En general...

P(exactamente k éxitos)=nCk⋅pk⋅(1−p)n−k
Intenta usar estas estrategias para resolver otro problema.

Problema 2

El hermano pequeño de Steph, Lucas, solo tiene una oportunidad del 20% de encestar un tiro libre. Va a lanzar 4 tiros libres.
¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 2 de los 4 tiros libres?
P(exactamente 2 encestes)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema de desafío

Steph se compromete a comprarle a Lucas un helado si encesta 3 o más de sus 4 tiros libres.
¿Cuál es la probabilidad de que enceste 3 o más de los 4 tiros libres?
P(3 o más encestes)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

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