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Contenido principal

Combinar variables aleatorias

El efecto en la media, la desviación estándar y la varianza

Podemos formar nuevas distribuciones al combinar variables aleatorias. Si conocemos la media y desviación estándar de las distribuciones originales, podemos usar esa información para encontrar la media y la desviación estándar de la distribución resultante.
Podemos combinar las medias directamente, pero no podemos hacer esto con las desviaciones estándar. Podemos sumar las varianzas siempre y cuando sea razonable suponer que las variables son independientes.
MediaVarianza
Al sumar: T, equals, X, plus, Ymu, start subscript, T, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, plus, mu, start subscript, Y, end subscriptsigma, start subscript, T, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared
Al restar: D, equals, X, minus, Ymu, start subscript, D, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, minus, mu, start subscript, Y, end subscriptsigma, start subscript, D, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared
Aquí te damos algunos datos importantes sobre cómo combinar las varianzas:
  • Antes de combinar las varianzas, asegúrate de que las variables sean independientes o que sea razonable suponer independencia.
  • Incluso cuando restamos dos variables aleatorias, sumamos sus varianzas; restar dos variables aumenta la variabilidad total en los resultados.
  • Podemos encontrar la desviación estándar de las distribución combinada al sacar la raíz cuadrada de las varianzas combinadas.

Ejemplo 1: establecer independencia

Para combinar las varianzas de dos variables aleatorias necesitamos saber, o estar dispuestos a suponer, que las dos variables son independientes.
PREGUNTA A (Ejemplo 1)
¿Para qué pares de variables sería razonable suponer independencia?
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

Ejemplo 2: puntuaciones en el SAT

Aproximadamente 1.7 millones de estudiantes tomaron la prueba SAT en el año 2015. Cada estudiante recibió una puntuación en lectura de comprensión y una en matemáticas.
Aquí está el resumen estadístico para cada sección de la prueba en el año 2015:
SecciónMediaDesviación estándar
Lectura de comprensiónmu, start subscript, C, R, end subscript, equals, 495sigma, start subscript, C, R, end subscript, equals, 116
Matemáticasmu, start subscript, M, end subscript, equals, 511sigma, start subscript, M, end subscript, equals, 120
Totalmu, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end textsigma, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text
Supón que elegimos un estudiante de esta población aleatoriamente.
Pregunta A (Ejemplo 2)
¿Cuál es la media de la suma de las puntuaciones en lectura de comprensión y en matemáticas de un estudiante?
Escoge 1 respuesta:
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Pregunta B (Ejemplo 2)
¿Cuál es la desviación estándar de la suma de las puntuaciones en lectura de comprensión y en matemáticas de un estudiante?
Escoge 1 respuesta:
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Ejemplo 3: inspección de artículos

Cada uno de determinados artículos en una fábrica es inspeccionado por 4 empleados. El tiempo que le toma a cada empleado inspeccionar el artículo tiene una media de 30 segundos y una desviación estándar de 6 segundos. Además, el tiempo que le lleva a un empleado determinado inspeccionar un artículo no se ve afectado por el tiempo que le lleva a otro empleado.
Sea T el tiempo total que le lleva a 4 empleados inspeccionar un artículo seleccionado aleatoriamente.
Pregunta A (Ejemplo 3)
¿Cuál es la media del tiempo total que se requiere para que 4 empleados inspeccionen un artículo seleccionado al azar?
Escoge 1 respuesta:
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Pregunta B (Ejemplo 3)
¿Cuál es la desviación estándar del tiempo total que se requiere para que 4 empleados inspeccionen un artículo seleccionado al azar?
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Ejemplo 4: diferencia de alturas

Un sociólogo tomó una muestra grande de miembros militares y observó las alturas de los hombres y las mujeres de la muestra. Abajo se muestra el resumen estadístico para las alturas de las personas en el estudio.
Supón que elegimos un hombre y una mujer al azar del estudio y vemos la diferencia entre sus alturas. Sean H la altura del hombre, M la altura de la mujer y D la diferencia entre sus alturas left parenthesis, D, equals, M, minus, W, right parenthesis.
MediaDesviación estándar
Hombremu, start subscript, M, end subscript, equals, 178, start text, c, m, end textsigma, start subscript, M, end subscript, equals, 7, start text, c, m, end text
Mujermu, start subscript, W, end subscript, equals, 164, start text, c, m, end textsigma, start subscript, W, end subscript, equals, 6, start text, c, m, end text
Diferenciamu, start subscript, D, end subscript, equals, start text, question mark, end textsigma, start subscript, D, end subscript, equals, start text, question mark, end text
Pregunta A (Ejemplo 4)
¿Cuál es la media de la diferencia entre las dos alturas?
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Pregunta B (Ejemplo 4)
¿Cuál es la desviación estándar de la diferencia entre las dos alturas?
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