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Estadística y probabilidad
Curso: Estadística y probabilidad > Unidad 9
Lección 4: Combinar variables aleatorias- La media de la suma y la diferencia de variables aleatorias
- La varianza de la suma y la diferencia de variables aleatorias
- Intuición de por qué es importante la independencia para la varianza de la suma
- Derivar la varianza de la diferencia de variables aleatorias
- Combinar variables aleatorias
- Combinar variables aleatorias
- Analizar la distribución de la suma de dos variables aleatorias distribuidas normalmente. Ejemplo
- Analizar la diferencia en distribuciones. Ejemplo
- Combinar variables aleatorias normales
- Combinar variables aleatorias normales
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Combinar variables aleatorias
El efecto en la media, la desviación estándar y la varianza
Podemos formar nuevas distribuciones al combinar variables aleatorias. Si conocemos la media y desviación estándar de las distribuciones originales, podemos usar esa información para encontrar la media y la desviación estándar de la distribución resultante.
Podemos combinar las medias directamente, pero no podemos hacer esto con las desviaciones estándar. Podemos sumar las varianzas siempre y cuando sea razonable suponer que las variables son independientes.
| Media | Varianza | |
|---|---|---|
| Al sumar: T, equals, X, plus, Y | mu, start subscript, T, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, plus, mu, start subscript, Y, end subscript | sigma, start subscript, T, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared |
| Al restar: D, equals, X, minus, Y | mu, start subscript, D, end subscript, equals, mu, start subscript, X, end subscript, minus, mu, start subscript, Y, end subscript | sigma, start subscript, D, end subscript, squared, equals, sigma, start subscript, X, end subscript, squared, plus, sigma, start subscript, Y, end subscript, squared |
Aquí te damos algunos datos importantes sobre cómo combinar las varianzas:
- Antes de combinar las varianzas, asegúrate de que las variables sean independientes o que sea razonable suponer independencia.
- Incluso cuando restamos dos variables aleatorias, sumamos sus varianzas; restar dos variables aumenta la variabilidad total en los resultados.
- Podemos encontrar la desviación estándar de las distribución combinada al sacar la raíz cuadrada de las varianzas combinadas.
Ejemplo 1: establecer independencia
Para combinar las varianzas de dos variables aleatorias necesitamos saber, o estar dispuestos a suponer, que las dos variables son independientes.
Ejemplo 2: puntuaciones en el SAT
Aproximadamente 1.7 millones de estudiantes tomaron la prueba SAT en el año 2015. Cada estudiante recibió una puntuación en lectura de comprensión y una en matemáticas.
Aquí está el resumen estadístico para cada sección de la prueba en el año 2015:
| Sección | Media | Desviación estándar |
|---|---|---|
| Lectura de comprensión | mu, start subscript, C, R, end subscript, equals, 495 | sigma, start subscript, C, R, end subscript, equals, 116 |
| Matemáticas | mu, start subscript, M, end subscript, equals, 511 | sigma, start subscript, M, end subscript, equals, 120 |
| Total | mu, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text | sigma, start subscript, T, end subscript, equals, start text, question mark, end text |
Supón que elegimos un estudiante de esta población aleatoriamente.
Ejemplo 3: inspección de artículos
Cada uno de determinados artículos en una fábrica es inspeccionado por 4 empleados. El tiempo que le toma a cada empleado inspeccionar el artículo tiene una media de 30 segundos y una desviación estándar de 6 segundos. Además, el tiempo que le lleva a un empleado determinado inspeccionar un artículo no se ve afectado por el tiempo que le lleva a otro empleado.
Sea T el tiempo total que le lleva a 4 empleados inspeccionar un artículo seleccionado aleatoriamente.
Ejemplo 4: diferencia de alturas
Un sociólogo tomó una muestra grande de miembros militares y observó las alturas de los hombres y las mujeres de la muestra. Abajo se muestra el resumen estadístico para las alturas de las personas en el estudio.
Supón que elegimos un hombre y una mujer al azar del estudio y vemos la diferencia entre sus alturas. Sean H la altura del hombre, M la altura de la mujer y D la diferencia entre sus alturas left parenthesis, D, equals, M, minus, W, right parenthesis.
| Media | Desviación estándar | |
|---|---|---|
| Hombre | mu, start subscript, M, end subscript, equals, 178, start text, c, m, end text | sigma, start subscript, M, end subscript, equals, 7, start text, c, m, end text |
| Mujer | mu, start subscript, W, end subscript, equals, 164, start text, c, m, end text | sigma, start subscript, W, end subscript, equals, 6, start text, c, m, end text |
| Diferencia | mu, start subscript, D, end subscript, equals, start text, question mark, end text | sigma, start subscript, D, end subscript, equals, start text, question mark, end text |
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