Analizar la diferencia en distribuciones. Ejemplo

supón que los hombres tienen una altura media de 178 centímetros con una desviación estándar de 8 centímetros las mujeres tienen una altura media de 170 centímetros con una desviación estándar de 6 centímetros las alturas de los hombres y las mujeres tienen una distribución normal de forma independiente elegimos aleatoriamente a un hombre y a una mujer cuál es la probabilidad de que la mujer sea más alta que el hombre los invito a que pausa en el vídeo y piensen en esto les daré una pista qué tal si definimos la variable aleatoria h como la altura de un hombre elegido aleatoriamente definimos la variable aleatoria m como la altura de una mujer elegida aleatoriamente y definimos una tercera variable aleatoria en términos de estas dos llamemos a esta nueva variable de por ser la diferencia d es igual a la diferencia entre la altura de un hombre elegido aleatoriamente y la de una mujer elegida aleatoriamente la variable aleatoria d es igual a la variable aleatoria h menos la variable aleatoria m las primeras dos variables tienen una distribución normal nos lo dicen en este enunciado las alturas de los hombres y las mujeres tienen una distribución normal y estamos por conocer que la diferencia entre variables aleatorias que tienen una distribución normal también tendrá una distribución normal con todo esto que mencionamos cómo resolverían este problema la probabilidad de que la mujer sea más alta que el hombre resolvamos estos juntos para ayudarnos a visualizar esto voy a dibujar las curvas de distribución normal de cada una de las variables aleatorias la primera es para la variable h aquí en medio tenemos la media de h que nos dicen es igual a 178 centímetros suponemos que todo está en centímetros también sabemos que tiene una desviación estándar de 8 centímetros por ejemplo esta es una desviación estándar por encima de la media y esta es una desviación estándar por debajo de la media este punto de aquí tendrá 8 centímetros más que 178 por lo que será 186 y este a 8 centímetros por debajo de la media que es 170 centímetros todo esto es para la variable aleatoria h para la variable aleatoria m nos dicen que la media dm es 170 centímetros y una desviación estándar por encima de la media va a ser de 6 centímetros más que es la desviación estándar aquí tenemos una desviación estándar por debajo de la media menos 6 ahora veamos la diferencia entre estas dos la variable aleatoria de pensemos un poco en esto la media de d va a ser igual a la diferencia entre las medias de h y de m va a ser igual a la media de h menos la media de m lo que será 178 menos 170 lo escribimos 178 menos 170 es igual a 8 centímetros por lo que esto es 8 cuál será la desviación estándar debido a que estas dos variables son independientes aquí nos lo dicen de forma independiente elegimos aleatoriamente a un hombre ya una mujer así que suponiendo que estas dos son variables independientes si tomamos la suma o la diferencia entre ellas la dispersión va a aumentar pero no vamos solamente a sumar las desviaciones estándar lo que hacemos es decir que la varianza de la diferencia será la suma de estas dos variantes vamos a escribir lo puedo escribir varianza con be a r poner la desviación estándar al cuadrado la desviación estándar de de nuestra diferencia al cuadrado que es la varianza será igual a la varianza de nuestra variable h más la varianza de nuestra variable m esto puede parecer poco intuitivo tendría más sentido si este signo fueron más pero no importa si sumamos o restamos si estas son variables realmente independientes no importa si sumamos o restamos vamos a sumar las varianzas esto va a ser igual a la desviación estándar de h es 8 al cuadrado que es 64 más la desviación estándar de m que es 6 al cuadrado lo que nos da 36 si lo sumamos nos dará 100 y ahora para encontrar la desviación estándar tenemos calcular la raíz cuadrada de 100 la raíz cuadrada de 100 es 10 una desviación estándar por encima de la media va a ser 18 y una desviación estándar por debajo de la media va a ser menos 2 ahora si usando esta distribución podemos responder a la pregunta cuál es la probabilidad de que la mujer sea más alta que el hombre podemos reescribir esta pregunta como cuál es la probabilidad de la variable aleatoria de pensemos cómo definirla qué condiciones debe cumplir pausa en el vídeo y piensen en ello la situación en la que la mujer es más alta que el hombre nos dará aquí un valor negativo así que tiene que ser menor a 0 así pues queremos encontrar la probabilidad de que d sea menor a 0 si decimos que en nuestra distribución 0 se encuentra por acá nos interesa encontrar el área bajo la curva que es menor a esto hay un par de formas en las que podemos hacer esto podemos encontrar el puntaje z para de igual a 0 lo que es bastante directo es igual a cero menos nuestra media que es 8 dividida entre nuestra desviación estándar que es 10 menos 8 entre 10 es menos punto 8 en la tabla zeta buscamos cuál es el área bajo la curva debajo de z igual a menos punto 8 otra forma en la que podemos hacer esto es usar una calculadora gráfica aquí tengo un emulador dt y 84 en mi computadora donde tenemos una función de distribución normal acumulada oprimimos segundo y podemos usar distribución lo que despliega varias funciones y vamos a usar normal cdf que es la opción número 2 y para el límite inferior voy a querer infinito negativo pero las calculadoras no tienen el valor de infinito negativo pero podemos poner un número negativo muy grande que para nuestros propósitos es equivalente a infinito negativo ponemos menos 1 por 10 a la potencia 99 ponemos 1 luego oprimimos segundo después la e mayúscula que indica el exponente y ponemos 99 este es un número muy negro para el límite superior borramos esto y ponemos 0 queremos el área que va desde menos infinito hasta 0 aquí ponemos la media que calculamos 8 y la desviación estándar es 10 regresamos a la pantalla principal y damos enter pudimos haber escrito todo esto directamente la pantalla principal esta función es para encontrar el área acumulada entre dos valores de una distribución normal en este caso entre menos infinito y 0 donde la media es 8 y la desviación estándar es 10 damos enter y tenemos aproximadamente 0 punto 212 lo escribimos la respuesta a cuál es la probabilidad de que la mujer sea más alta que el hombre es aproximadamente 0 punto 212 o 21.2 por ciento un poco mayor que 1 en 5