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Contenido principal

La varianza de la suma y la diferencia de variables aleatorias

Intuición de por qué la varianza tanto de la suma como de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas.

Transcripción del video

aquí tenemos una caja miniatura de cereal la variable aleatoria x representa el peso del cereal en la caja la empresa que produce este cereal hace millones de estas cajas por lo que tienen un valor esperado del peso del cereal en la caja digamos que este es 16 gramos es común ver ese tipo de información impresa en la caja pero no significa que todas las cajas tengan exactamente 16 gramos de cereal existen ciertas incertidumbres como la densidad de las hojuelas de cereal la forma en que el cereal es vertido en la caja el tamaño y peso de las hojuelas todo esto puede ocasionar una diferencia en el peso en este ejemplo diremos que la varianza de x es igual a 0.64 gramos es lo que puede variar el peso del cereal en la caja porque no siempre pesará exactamente 16 gramos de forma similar supongamos que tenemos un tazón pequeño con cereal y tenemos la variable aleatoria que representa el peso del cereal en el tazón también tenemos un valor esperado para esta variable aleatoria digamos que en promedio el valor esperado o la media del peso del cereal que cabe en este es de 4 gramos de forma similar tenemos una varianza de la variable aleatoria y que depende del tamaño de las hojuelas de cómo vierten el cereal y qué tanto quieren llenar el tazón digamos que la varianza de g es de 0.36 gramos con esta información definida veamos la suma y la diferencia de estas variables aleatorias supongamos que tenemos una nueva variable aleatoria que es igual a la suma de las variables xy es la variable aleatoria z hemos visto en vídeos anteriores que el valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es la suma del valor esperado de cada una de las variables aleatorias esto tiene sentido porque si queremos conocer el peso del cereal de la caja más el cereal del tazón esperaremos que sea 16 gramos más 4 gramos o sea 20 gramos de forma similar si queremos conocer la diferencia de peso entre el cereal de la caja y el cereal del tazón esperaríamos que fuera igual a la diferencia entre estos valores pero en esta ocasión vamos a hablar sobre la varianza cuál será la varianza de la aleatoria x más la variable aleatoria y a que creen que sea igual resulta que sumamos las varianzas de cada variable aleatoria siempre y cuando estas variables sean realmente independientes es decir la probabilidad de tener cierto peso en este tazón no depende del peso del cereal que tengamos en esta caja escribimos suponemos independencia más adelante veremos con un ejemplo por qué es importante esta independencia esto tiene sentido porque si aquí tenemos cierta incertidumbre que podemos medir con la varianza y tenemos otra incertidumbre aquí y la sumamos también sumaremos las incertidumbres que se miden con la varianza ahora veamos una pregunta interesante qué pasaría si tuviéramos una variable aleatoria que fuera igual a la diferencia de estas variables aleatorias a que será igual esta varianza cuando hablamos del valor esperado simplemente calculamos la diferencia entre los valores esperados de las variables pero resulta que para calcular la varianza vamos a sumar las varianzas de las variables aleatorias una forma de pensar en esto es que si tenemos una incertidumbre aquí y otra incertidumbre acá no importa si sumamos o restamos las incertidumbres siempre se van a sumar para comprender mejor esto pensemos que aquí tenemos una caja aleatoria de nuestro cereal la abrimos y vemos que el cereal tiene un peso promedio de 16 gramos además tenemos un tazón vacío que en promedio tiene una capacidad de 4 gramos después vertemos el cereal en el tazón la cantidad de cereal que ponemos en el tazón es completamente independiente de la cantidad de el peso original del cereal que existe en la caja en este caso x - representa la cantidad de cereal que queda en la caja pensemos en la variabilidad está la variabilidad con la que comenzamos y también depende de quién vierta el cereal como lo esté vertiendo o la forma en la que caen las hojuelas así que agregamos más varianza otra forma de encuadrar esto es pensar en términos de la desviación estándar recuerden que la varianza es la desviación estándar al cuadrado escribir esto como la desviación estándar al cuadrado de la combinación de dos variables aleatorias es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar de cada variable la desviación estándar al cuadrado de la variable x más la desviación estándar al cuadrado de la variable y esto puede parecerles familiar si es que conocen el teorema de pitágoras donde sea al cuadrado es igual a b al cuadrado más a al cuadrado es por eso que a esto se le llama el teorema pitagórico de la estadística de hecho hay varias formas interesantes de pensar en esto como en un triángulo rectángulo si tenemos dos variables que son realmente independientes entre sí para un triángulo rectángulo debemos tener un ángulo de 90 grados entre dos lados y en este caso debemos tener independencia entre las variables por lo que hay formas de conectar estas ideas geométricamente pero podemos ver aquí que no sumamos desviaciones estándar sino que sumamos desviaciones estándar al cuadrado o sumamos las varianzas es importante tener esto en mente en resumen para expresar esta segunda parte cuando queremos encontrar la varianza de la diferencia de dos variables vamos a sumar la varianza de cada variable regresando a este ejemplo en cualquier caso ya sea una caja completa de cereal más el cereal en un tazón lleno la varianza de la suma será la suma de las varianzas en este caso será 0.64 + 0.36 así que la varianza de x + d es igual a un gramo y esto es igual en el otro caso cuando nos interesa encontrar la varianza de la diferencia de x no importa que restamos las variables la incertidumbre o la variabilidad se siguen sumando si queremos expresar esta misma idea en términos de la desviación estándar la desviación estándar de nuestra variable x es igual a la raíz cuadrada de esto 0.8 gramos y la desviación estándar de nuestra variable que es igual a 0.6 gramos sustituimos los valores al cuadrado de las desviaciones estándar y al sumarlas obtenemos un gramo que es nuestra varianza si sacamos la raíz cuadrada de esto obtendremos la desviación estándar de x que en este caso es un gramo noten que esto no es igual a la suma de estos otros 21 no es igual a la suma de 0.8 más 0.6 pero si sumamos los cuadrados de ambos tendremos 1 al cuadrado y con esto terminamos