Proceso de Poisson 1

digamos que eres una especie de ingeniero dedicado a analizar el tráfico de coches en una ciudad y que quieres averiguar más o menos cuántos coches pasan por cierto punto de la ciudad en cualquier momento y además quieres encontrar la probabilidad de que pasen no sé 100 coches o 5 coches en una hora entonces empiezas por definir una variable aleatoria x que representa básicamente lo que te interesa o sea cuál es el número de coches número de coches que pasan en una hora 1 ahora aunque en cierto punto de la ciudad y el objetivo es encontrar cuál es la función de distribución o la función de densidad de esta variable aleatoria y una vez que la encontremos será súper sencillo obtener la probabilidad de que pasen 100 coches por esa calle o 5 coches o hasta que no pase ni un solo coche ahora hay 2 suposiciones que tenemos que hacer en este vídeo porque vamos a estudiar la distribución quad son y pues hay dos cosas que tenemos que suponer una es que la cantidad de coches que pasan por la calle durante una hora es exactamente la misma independientemente de la hora que escojamos aunque bueno osea sabemos que esto no es cierto en las horas pico por ejemplo siempre pasan muchísimos más coches que en cualquier otra hora iba a las 3 de la mañana también pasan muchos menos coches que digamos a las 8 de la mañana cuando todos tienen que entrar a trabajar entonces bueno para ser más realistas podríamos mejor suponer que la cantidad de coches que pasan en un es la misma todos los días pero sabes que o sea creo que mejor no nos vamos por ese camino más bien vamos a suponer que en cada instante la probabilidad de que llegue un coche es la misma y la otra cosa que tenemos que suponer es que si muchos coches pasan durante una hora esto no significa que vayan a pasar menos coches la siguiente hora o sea que la cantidad de coches que pasa durante una hora no tienen nada que ver no influencia en lo más mínimo ni está correlacionada con la cantidad de coches que va a pasar en la siguiente hora o sea que la cantidad de coches que pasan una hora es independiente de la cantidad de coches que van a pasar en la siguiente hora si suponemos estas dos cosas entonces si podemos tratar de modelar el tráfico con una función de distribución que si podemos manejar fácilmente lo primero que haría yo y lo recomiendo ampliamente para cualquier variable aleatoria no solo para esta es aproximar la media la esperanza de x y la esperanza de o sea sentarse en la banqueta que está enfrente del punto del cual nos interesa saber cuántos coches pasan en una hora y ponernos a contar cuántos coches pasan por esa calle durante muchas horas aunque sea lo que estamos haciendo es encontrar valores experimentales de la variable x y las estamos sumando una vez que tenemos la cantidad de coches que pasaron en no sé 800 horas lo que vamos a hacer es dividir entre la cantidad de horas que estuvimos allí contando cuántos coches pasaban y ese va a ser un muy buen estimador de la esperanza de esta variable aleatoria ok así es como se aproximan las esperanzas de las variables aleatorias encontramos experimentalmente muchos valores de la variable y dividimos entre la cantidad de experimentos ahora en este caso la cantidad de experimentos es durante cuántas horas contamos y si hacemos suficientes experimentos entonces obtenemos una muy buena aproximación de la esperanza de la variable entonces llegamos hicimos eso de contar coches durante muchísimas horas y que a la hora de dividir entre la cantidad de horas que estuvimos contando nos queda lambda entonces la esperanza de x va a ser muy cercana de lambda y bueno esta lambda podría ser 9.3 coches por hora entonces te sentaste ahí en la banqueta por cientos y cientos de horas y el promedio pasan 9.3 coches por hora y entonces pues 9.3 es un muy buen estimador de la esperanza de x entonces veamos qué podemos hacer conocemos suficientemente bien en la distribución binomial y ésta lo que nos dice es que la esperanza de nuestra variable binomial es igual a el número de experimentos de los cuales consiste la variable aleatoria binomial a ver a ver recuerda los vídeos de la variable binomial en esos experimentos de binomial es lo que teníamos era n experimentos que eran lanzar volados al aire y ver si caía cara cruz o águila o sol y contar cuántas caras salían en los n volados y n significa el número de volados lanzados pero para sacar la esperanza tenemos que multiplicar el número de volados por la probabilidad de obtener un éxito en cada volador o sea la probabilidad de sacar cara en cada volado cierto bueno entonces tal vez podemos modelar el tráfico de una forma similar a ver lambda es el número de coches que pasan por ahora lambda coches por ahora y podemos ver esto como que cada volado representa un minuto de la hora en la que estamos contando cuántos coches pasan y vamos a decir que tenemos un éxito en ese minuto si pasa por lo menos un coche en ese minuto entonces tenemos 60 minutos por cada hora minutos por hora porque hay 60 minutos en cada hora que va a ser nuestro número de experimentos porque vamos a dividir a esta hora en cada minuto y en cada minuto vamos a ver si pasaron coches o no y la probabilidad de éxito que ahora va a ser la probabilidad de que pase un coche en cada minuto pues tiene que ser lambda entre 60 entonces tenemos que pasar lambda entre 60 coches minuto haber entonces tenemos esto que sería como la n la cantidad de experimentos que hacemos y esto qué es la probabilidad con la que cada uno de esos experimentos es un éxito ok en cada hora tenemos 60 minutos entonces tenemos 60 experimentos y en cada uno de esos minutos hay una probabilidad de lambda entre 60 de que pase por lo menos un coche si decimos que el tráfico se modela como una variable binomial y bueno de hecho esa no sería tan mala aproximación y bueno ya que estamos viendo al tráfico de esta forma podemos empezar a hacer cosas más sofisticadas cómo tratar de calcular la probabilidad de que en una hora pasen exactamente cada coches aunque ahí donde acá es algún entero y está acá pues puede ser 3 y entonces estamos calculando la probabilidad de que pasen exactamente 3 coches en una hora y pues esto sería igual como ya vimos hace algunos vídeos acerca de la variable binomial esto sería igual a las combinaciones de n en k por la probabilidad de éxito o sea la probabilidad de que pase por lo menos un coche cada minuto que es lambda entre 60 elevada al número de éxitos que queremos que es acá y luego por la probabilidad de no obtener un éxito que es 1 - la probabilidad de éxito elevado a la enee - k porque o sea si tenemos que éxitos tenemos que tener en el menos k fracasos y entonces como tenemos 60 minutos en una hora lo que tenemos es que n es igual a 60 y esto nos queda 60 en cada las combinaciones de 60 ica por lambda entre 60 al número de coches que estamos buscando la probabilidad de que hayan pasado en una hora o de que pasen en una hora por la probabilidad de que no pase ningún coche en un minuto pero que eso pase en 60 minutos o sea si tenemos acá éxitos tenemos que tener 60 menos acá para casos hay 60 menos acá minutos en los que no pasa ni un solo coche bueno esta no es ninguna mala aproximación y probablemente obtendríamos muy buenos resultados utilizando este modelo pero hay un problema importante aquí en este modelo binomial que pasa sin más de un coche pasa en un minuto en este modelo decimos que tenemos un éxito si pasa por lo menos un coche en cada minuto pero cuenta como un solo éxito aunque pasen 50 coches en ese minuto y entonces pues tú me puedes decir ah ok sal creo que ya sé cuál es la solución lo que tenemos que hacer es volvernos más precisos y en lugar de dividir cada hora en 60 minutos ahora lo que vamos a hacer es dividirla 3600 segundos y entonces estamos buscando la probabilidad de que haya acá éxitos en una hora pero en lugar de dividir una hora en 60 minutos ahora la vamos a dividir en 3.600 segundos y buscamos que haya cada éxitos entonces tenemos aquí las combinaciones de 3600 en k por la probabilidad de que pase un coche en un segundo y eso es la esperanza del número de coches que pasan en una hora entre la cantidad de segundos que hay en una hora lo tenemos que elevar el número de éxitos del cual estamos buscando la probabilidad por la probabilidad de que no pase en un solo coche en un segundo elevado al número de intervalos fracasados o sea el número de intervalos que en este caso es el número de segundos en una hora - el número de éxitos y listo este es un muy buen modelo mucho mejor que este sin embargo sigue sin considerar muchas cosas por ejemplo que dos coches pueden pasar en menos de medio segundo y aquí es cuando tú puedes decir aunque israel ya estoy entendiendo el patrón hay que ser cada vez más precisos y ahora en lugar de dividir a una hora en 3600 segundos vamos a dividirla en milisegundos entonces el chiste es hacer cada vez más grande este número de aquí aunque el número de intervalos en el que dividimos a la hora y esto está muy interesante ok y conocemos este número muy muy grande cada vez más grande y nos vamos al límite lo que obtenemos es la distribución razón y eso está muy padre porque la mayoría de las veces nada más tener la distribución para son sin explicar de dónde vino y nada más tienes que sustituir los números la lambda y todas esas cosas y utilizar la fórmula pero aquí estamos viendo que la distribución pues son de la distribución binomial y que la distribución binomial viene básicamente en el sentido común y de toda esta cosa tan intuitiva de éxitos y fracasos y tirar una moneda bueno pero antes de probar que esta distribución cuando hacemos que este número tienda infinito este número que es el número de intervalos en el que estamos dividiendo una hora que si hacemos que este número tiende a infinito entonces nos queda la distribución para son tenemos que repasar algunas herramientas la primera herramienta que necesitamos es que el límite cuando x tiende a infinito de 1 más a entre x elevado a la x es igual a el número y que seguramente ya estás familiarizado con él sino búscalo en la sección de logaritmos o exponentes pero bueno este límite es igual a el elevado a la a y bueno para probar esto podemos usar un pequeño truco ok vamos a decir que x es igual a n por a y bueno si x es igual a n por a entonces esto de aquí a entre x es igual a 1 entre n se ve como una buena forma de nombrar estas variables verdad y bueno entonces este límite de aquí es igual al límite cuando n tiende a infinito si x tiene infinito como vamos a suponer que ésta es mayor que 0 entonces n también tiende a infinito entonces este límite es el límite cuando m tiende a infinito de uno más entre x es uno entre n elevado a la equis que es n ahora y bueno este límite también es igual al límite cuando m tiende a infinito de uno más uno entre n elevado a la n y luego todo este paréntesis elevado a la a y bueno podemos ver que la a no tiene nada que ver con esta n atendiendo infinito entonces podemos meter el límite dentro del paréntesis y nos queda igual al límite cuando n tiende a infinito de uno más uno entre n elevado a la n y luego todo este límite elevado a la a ahora en esos vídeos de logaritmos y exponentes vimos que esta es otra forma de definir al número y aunque hay otra forma de representarlo entonces todo esto de aquí es el número e y aquí estamos elevando al número e a la potencia entonces esto es igual a el ala a que es justo la herramienta que necesitamos bueno entonces vamos con la siguiente herramienta y la otra herramienta que vamos a necesitar es que si tenemos por aquí por ejemplo x factorial entre x menos k factorial lo que nos va a quedar es por x1 por x2 y así vamos a multiplicar prestándole números cada vez más grandes hasta que lleguemos a x menos que más 1 y bueno otra cosa es que aquí vamos a tener exactamente cada términos multiplicándose este es el término 1 este es el término 2 este es el término 3 nos seguimos y este es el término acá a ver vamos a ver un ejemplo con números para que quede muy claro qué es lo que está pasando detrás de esta fórmula a ver por ejemplo tenemos 7 factorial entre 7 menos 2 factorial ok esto es igual a 7 por 6 por 5 por 4 por 3 por 2 por 1 y aquí tenemos 7 menos dos que es 5 factorial o sea 5 por 4 por 3 por 2 por 1 y entonces lo que pasa es que todo esto se cancela con todo esto y nos queda nada más 7 por 6 que es x por x menos 1 y pues x menos 1 es igual a x menos dos más uno que es justo el último término de esta cadenita entonces vamos a usar en el próximo vídeo estas dos herramientas que acabamos de ver para demostrar que si tomamos la distribución binomial y dividimos en intervalos cada vez más pequeños lo que obtenemos es la distribución pues son