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Transcripción del video

digamos que es una especie de ingeniero dedicado a analizar el tráfico de coches en una ciudad y que quieres averiguar más o menos cuántos coches pasan por cierto punto de la ciudad en cualquier momento y además quieres encontrar la probabilidad de que pasen no sé si en coches o cinco coches en una hora entonces empiezas por definir una variable a thor ya x que representa básicamente lo que te interesa o sea cuál es el número de coches número de coches que pasan en una hora que pasa se une ahora que hay en cierto punto de la ciudad y el objetivo es encontrar cuál es la función de distribución o la función de densidad de esta variable aleatoria y una vez que la encontremos será súper sencillo obtener la probabilidad de que pasen cien coches por esa calle o cinco coches o hasta que no pase ni un solo coche ahora hay dos posiciones que tenemos que hacer en este video porque vamos a estudiar la distribución pues son y pues hay dos cosas que tenemos que suponer una es que la cantidad de coches que pasan por la calle durante una hora es exactamente la misma independientemente de la hora que escojamos aunque bueno o sea sabemos que esto no es cierto en las horas pico por ejemplo siempre pasan muchísimos más coches que en cualquier otra obra iba a las tres de la mañana también pasan muchos menos coches que digamos a las ocho de la mañana cuando todos tienen que entrar a trabajar entonces bueno para ser más realistas podríamos mejor suponer que la cantidad de coches que pasan en un día es la misma para todos los días pero sabes que no sea creo que mejor nos vamos por ese camino más bien vamos a suponer que en cada instante la probabilidad de que llegue un coche es la misma y la otra cosa que tenemos que suponer es que si muchos coches pasan durante una hora esto no significa ica que vayan a pasar menos coches la siguiente hora o sea que la cantidad de coches que pasa durante una hora no tienen nada que ver no influencia en lo más mínimo ni está correlacionada con la cantidad de coches que va a pasar en la siguiente hora o sea que la cantidad de coches que pasan una hora es independiente de la cantidad de coches que van a pasar en la siguiente hora si suponemos estas dos cosas entonces sí podemos tratar de modelar el tráfico con una función de distribución que sí podemos manejar fácilmente lo primero que haría yo lo recomiendo ampliamente para cualquier variable aleatoria no sólo para esta es aproximar la media la esperanza de x y la esperanza de x o sea sentarse en la banqueta que está enfrente del punto del cual nos interesa saber cuántos coches pasan en una hora y ponernos a contar cuántos coches pasan por esa calle durante muchas horas aunque hay ya lo que estamos haciendo es encontrar valores experimentales de la variable x y las estamos sumando una vez que tenemos la cantidad de coches que pasaron en no sé 800 horas lo que vamos a hacer es dividir entre la cantidad de horas que estuvimos ahí contando cuántos coches pasaban y ese va a ser un muy buen estimador de la esperanza de esta variable aleatoria lo que hay así es como se aproximan las esperanzas de las variables aleatorias encontramos experimentalmente muchos valores de la variable y dividimos entre la cantidad de experimentos ahora en este caso la cantidad de experimentos es durante cuántas horas contamos y si hacemos suficientes experimentos entonces obtenemos una muy buena aproximación de la esperanza de la variable entonces digamos que hicimos eso de contar con coches durante muchísimas horas y que a la hora de dividir en tres la cantidad de horas que estuvimos contando nos queda la banda entonces la esperanza de x va a ser muy cercana a la banda y bueno está la banda pop voy a hacer 9.3 coches por hora entonces te sentaste y en la banqueta por cientos y cientos de horas y en promedio pasan 9.3 coches por hora y entonces pues 9.3 es un muy buen estimador de la esperanza de x entonces veamos qué podemos hacer conocemos suficientemente bien la distribución binomial y ésta lo que nos dice es que la esperanza de nuestra variable binomial es igual a el número de experimentos de los cuales consiste la variable aleatoria binomial a ver a ver recuerda los vídeos de la variable vino miel en esos experimentos de binomial es lo que teníamos era n experimentos que eran lanzar bola dos al aire y ver si caía cara o cruz o águila o sol y contar cuántas cara salían en los n volados y en eso significa el número de volados lanzados pero para sacar la esperanza tenemos que multiplicar el número de volados por la probabilidad de obtener un éxito en cada volador o sea la probabilidad de sacar cara en cada bolado cierto bueno entonces tal vez podemos modelar el tráfico de una forma similar a ver landa es el número de coches que pasan por hora landa coches por hora y podemos ver esto como que cada bolado representa un minuto de la hora en la que estamos contando cuántos coches pasan y vamos a decir que tenemos un éxito en ese minuto si pasa por lo menos un coche en ese minuto entonces tenemos 60 minutos por cada hora minutos por hora porque hay 60 minutos en cada hora que va a ser nuestro número de experimento porque vamos a dividir a esta hora en cada minuto y en cada minuto vamos a ver si pasaron coches o no y la probabilidad de éxito que ahora va a ser la probabilidad de que pase un coche en cada minuto pues tiene que ser la na entre 60 y tenemos que pasan lama entre 60 coches por minuto a ver entonces tenemos esto que sería como la enee la cantidad de experimentos que hacemos y esto que es la probabilidad con la que cada uno de esos experimentos es un éxito en cada hora tenemos 60 minutos entonces tenemos 60 experimentos y en cada uno de esos minutos hay una probabilidad del hampa en 360 de que pase por lo menos un coche si decimos que el tráfico se modela como una variable binomial y bueno de hecho ésa no sería tan mala aproximación y bueno ya que estamos viendo al tráfico de esta forma podemos empezar a hacer cosas más sofisticadas como trata de calcular la probabilidad de que en una hora pasen exactamente cada coches aunque y dónde caerá algún entero y estaca puede ser tres y entonces estamos calculando la probabilidad de que pasen exactamente tres coches en una hora y pues esto sería igual como ya vimos hace algunos videos acerca de la variable binomial esto sería igual a las combinaciones de n enka por la probabilidad de éxito o sea la probabilidad de que pase por lo menos un coche cada minuto que es landa entre 60 elevada al número de éxitos queremos que es acá y luego por la probabilidad de no obtener un éxito que es uno menos la probabilidad de éxito elevado a la enee menos acá porque o sea si tenemos éxito tenemos que tener en menoscaba fracasos y entonces como tenemos 60 minutos en una hora lo que tenemos es que en ee es igual a 60 y esto nos queda 60 en cada las combinaciones de 60 inca por landa entre 60 al número de coches que estamos buscando la probabilidad de que hayan pasado en una hora o de que pasen una hora por la probabilidad de que no pase ningún coche en un minuto pero que eso pase en 60 - ca minutos o sea si tenemos acá éxito tenemos que tener 60 - ca fracasos hay 60 menos que a minutos en los que no pasa ni un solo coche bueno ésta no es ninguna mala aproximación y probablemente obtendríamos muy buenos resultados utilizando este modelo pero hay un problema importante aquí en este modelo binomial que pasa y más de un coche pasa en un minuto en este modelo decimos que tenemos un éxito si pasa por lo menos un coche en cada minuto pero cuenta como un solo éxito aunque pasen 50 coches en ese minuto y entonces pues tú me puedes decir a ok sal creo que ya sé cuál es la solución lo que tenemos que hacer es volvernos más precisos y en lugar de dividir cada hora en 60 minutos ahora lo que vamos a hacer es dividir la en 3.600 segundos y entonces estamos buscando la probabilidad de que haya cae éxitos en una hora pero en lugar de dividir una hora en 60 minutos ahora la vamos a dividir en tres mil 600 segundos y buscamos que hay acá éxitos entonces tenemos aquí las combinaciones de 3.600 enka por la probabilidad de que pase un coche en un segundo y eso es la esperanza del número de coches que pasan en una hora entre la cantidad de segundos que hay en una hora no tenemos que elevar el número de éxitos del cual estamos buscando la probabilidad por la probabilidad de que no pase ni un solo coche en un segundo elevado al número de intervalos para casados o sea el número de intervalos que en este caso es el número 6 bush en una hora - el número de éxitos y listo este es un muy buen modelo mucho mejor que éste sin embargo sigue sin considerar muchas cosas por ejemplo que dos coches pueden pasar en menos de medio segundo y aquí es cuando tú puedes decir ok sal ya estoy entendiendo el patrón hay que ser cada vez más precisos y ahora en lugar de dividir a una hora en 3 mil 600 segundos vamos a dividirla en milisegundos entonces el chiste es hacer cada vez más grande este nuevo aquí el número de intervalo en el que vivimos a la hora y esto está muy interesante y conocemos este número muy grande cada vez más grande y nos vamos al límite lo que obtenemos es la distribución pues son y eso está muy padre porque la mayoría de las veces nada más para la distribución para son sin explicar de dónde vino y nada más tienes que sustituir los números lalanda y todos sus cosas y utilizar la fórmula pero aquí estamos viendo que la distribución para son viene de la distribución binomial y que la distribución binomial viene básicamente del sentido común y de toda esta cosa tan intuitiva de éxitos y fracasos y tirar una moneda bueno pero antes de probar que esta distribución cuando hacemos que este número tiende a infinito este número que es el número de intervalo en el que estamos viviendo una hora que si hacemos que este número tiende a infinito entonces nos queda la distribución pues son tenemos que repasar algunas herramientas la primera herramienta que necesitamos es que el límite cuando x tiende a infinito de uno más a entre x elevado a la x es igual el número que seguramente ya estás familiarizado con él sino buscarlo en la sección de logaritmos o exponente pero bueno este límite es igual a e elevado a la a y bueno para probar esto va podemos usar un pequeño truco que vamos a decir x es igual a n por a y bueno si x es igual a m por hora entonces esto de aquí / x es igual a 1 / m se ve como una buena forma de nombrar estas variables verdad y bueno entonces este límite de aquí es igual al límite cuando n tiende a infinito si x tiene infinito cómo vamos a suponer que ésta es mayor que cero entonces n también tiende a infinito entonces este límite es el límite cuando n tiende a infinito de uno más a / x es uno entre n elevado a la x que es n hora y bueno este límite también es igual al límite cuando n tiende a infinito de uno más uno / n elevado a la n luego todo este paréntesis elevado a la a y bueno podemos ver que la an no tiene nada que ver con esta m que está tendiendo infinito entonces podemos meter el límite dentro del paréntesis nos queda igual al límite cuando en etienne de infinito de uno más uno / n elevado a la n y luego todo este límite elevado a la ahora en esos vídeos de logaritmos exponentes vimos que esta es otra forma de definir al número que hay otra forma de representarlo entonces todo esto de aquí es el número y aquí estamos elevando al número a la potencia a la entonces esto es igual a la que es justo la herramienta que necesitamos bueno entonces vamos con la siguiente herramienta y la otra herramienta que vamos a necesitar es que si tenemos por aquí por ejemplo x factor yal / x - ca factorial lo que nos va a quedar es x por x menos uno por x menos dos y así vamos a multiplicar restándole números cada vez más grandes hasta que lleguemos a x menos que más uno y bueno otra cosa es que aquí vamos a tener exactamente cada términos multiplicándose ese es el término 1 este es el término voz este es el término 3 nos seguimos y este es el término acá a ver vamos a ver un ejemplo con números para que quede muy claro qué es lo que está pasando detrás de esta fórmula a ver por ejemplo tenemos siete factorial entre 7 - dos factorías esto es igual a 7 por 6 por 5 x 4 por 3 0 2 por 1 y aquí tenemos siete menos dos que es 5 factorial o sea 5 x 4 x 3 x 2 por 1 y entonces lo que pasa es que todo esto se cancela con todo esto y nos queda nada más 7 por 6 es x x x -1 y pues x menos uno es igual la x menos dos más uno que es justo el último término de esta cadena entonces vamos a usar en el próximo video estas dos herramientas que acabamos de ver para demostrar que si tomamos la distribución binomial y dividimos en intervalos cada vez más pequeños lo que obtenemos es la distribución pues son