Funciones de densidad de probabilidad

en el vídeo anterior comenzamos con el concepto de variable aleatoria vimos dos tipos de variables aleatorias las discretas discreta que toman un número finito de valores finitos significa que no podemos tener un número infinito de valores para una variable discreta y tenemos variables aleatorias continuas continua las cuales puedan tomar un número infinito de valores el ejemplo que les mostré para las continuas era algo así aunque voy a cambiar un poco las cosas en lugar de usar x mayúscula voy a usar ye mayúscula normalmente se usa la x mayúscula pero yo voy a estar poniendo las y se usan mayúsculas por lo general para las variables aleatorias que es la cantidad exacta de lluvia que caerá mañana últimamente ha llovido mucho en donde vivo por eso tengo en mente la lluvia y aunque no conozco la función de distribución de probabilidad de esta variable voy a dibujar una para que la podamos interpretar y ver cómo podemos pensar acerca de las variables aleatorias continuas permítanme dibujar esta función de distribución de probabilidad que llamamos función de densidad de probabilidad el eje x es la cantidad de lluvia que caerá 0 centímetros 1 centímetro 2 centímetros 3 centímetros y 4 centímetros y en el eje ya tenemos cierta altura y se me ocurre que el máximo aquí mide 0.5 la forma de pensar en esto es si vemos esto y yo les preguntara cuál es la probabilidad de que yo que es nuestra variable aleatoria sea exactamente igual a 2 centímetros con base en lo que tenemos en la función de distribución de probabilidad para esta variable aleatoria aquí tengo dos centímetros subimos y vemos que tiene el valor de 0.5 así que tendrá una probabilidad de 0.5 yo les digo que no es de 0.5 y antes de que veamos cómo interpretarlo visualmente pensemos lógicamente en esto es la probabilidad de que mañana caigan exactamente dos centímetros de lluvia 12.01 centímetros de lluvia ni tampoco 1.99 centímetros de lluvia ni 1.999 nueve centímetros de lluvia y tampoco 2.000 01 centímetros de lluvia sino exactamente 2 centímetros de lluvia ninguna molécula extra de agua ni una molécula menos de agua alejada de nuestra marca de 2 centímetros quizás no sea tan obvio para ustedes cuando escuchan que cayeron 2 centímetros de agua ayer pero tienen que imaginarse exactamente dos centímetros muchas veces las personas cuando ven 2.01 dicen ah pues son dos pero este 2.01 no cuenta para nuestro ejemplo tampoco nos sirve el 1.99 tiene que ser exactamente dos es más no contamos siquiera con las herramientas necesarias para medir con exactitud dos centímetros ni siquiera una regla puede medir con exactitud a 2 centímetros ya que por como fabricamos las cosas siempre habrá un átomo extra por aquí o por allá la forma en la que podemos pensar acerca de las variables aleatorias continuas es decir cuál es la probabilidad de que ye sea casi 2 si dijéramos que la probabilidad del valor absoluto de yemen los dos sea menor que 0.1 para que no se confundan esto significa cuál es la probabilidad de que ye sea mayor que 1.9 y menor que 2.1 estos dos enunciados son equivalentes esto comienza a tener más sentido ya que tenemos un intervalo aquí estamos hablando de toda esta área y el área es algo clave ya que para calcular la probabilidad de que esto ocurra tenemos que encontrar el área bajo esta curva desde este punto a este punto y para que ellos ustedes que ya comenzaron a estudiar cálculo esto es igual a la integral definida de esta función de densidad de probabilidad desde este punto a este otro punto digamos que esta gráfica esta línea es f x la probabilidad de que esto pasará será igual a la integral para aquellos de ustedes que están estudiando cálculo la integral que va de 1.9 hasta 2.1 df x con respecto a x este es el eje x algo importante que tenemos que darnos cuenta es que una variable aleatoria puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo si queremos la probabilidad de exactamente 1.9 999 es de 0 pues cuál es el área bajo la curva en este punto o en esta línea es más cuál es el área de una línea si dibujaremos una línea el área sería base por altura la altura podemos calcularla pero cuánto mide la base cuál es su ancho por definición una línea no tiene ancho y por lo tanto no tiene área esto nos da la noción intuitiva de que la probabilidad de un valor exacto va a ser igual a cero por otro lado si nos preguntáramos cuál es la probabilidad de acercarnos a dos entonces sí podemos definir un área cuál es la probabilidad de que caigan entre uno y tres centímetros de lluvia mañana bueno pues vemos que tenemos una probabilidad más grande es toda esta área también nos podemos preguntar cuál es la probabilidad de tener menos de 0.1 centímetros de lluvia que está aquí y podemos calcular esta área o podríamos preguntarnos cuál es la probabilidad de tener más de 4 centímetros de lluvia mañana comenzamos aquí y calculamos el área de aquí hasta el infinito si es que la función se extiende hasta el infinito aunque esperamos que no sea un número infinito pues de ser así esta probabilidad no tendría ningún sentido pero imaginemos que la integral nos da un 10% de probabilidad de que caigan más de 4 centímetros de lluvia mañana todo esto debería hacerles ver que el área total debajo de la curva o que todos los eventos posibles combinados a la vez no pueden ser mayores que el 100 por ciento toda el área bajo la curva tiene que ser igual a 1 la integral de fx a infinito al menos para esta función que dibuje con respecto a x debe ser igual a 1 para aquellos de ustedes que aún no están familiarizados con cálculo la integral es el área bajo la curva y si quieren aprender más pues pueden ver la lista de vídeos de cálculo en khan academy lo mismo aplica para las variables aleatorias discretas en las que la suma de todas las probabilidades también debe ser igual a 1 veamos un ejemplo por monedas voy a dibujarlo aquí hay dos probabilidades que deben ser igual a 1 aquí está uno y aquí está cero uno es si cae la moneda en águila y 0 si cae la moneda en sol aquí en el dibujo a más de 0.5 aunque no siempre tiene que ser así si águila es 0.6 entonces la probabilidad de sol será de 0.4 la suma de ambas siempre tiene que ser uno no se puede tener una probabilidad 60% de águilas y 60% de soles pues acabaríamos con una probabilidad de 120 por ciento de que ocurriera cualquiera de esas posibilidades lo cual no tiene sentido así pues es importante recordar que una función de distribución de probabilidad en este caso de una variable aleatoria tendrá que ser igual a 1.5 punto 5 y en este caso de la variable aleatoria continua la función de densidad de probabilidad también tiene que ser igual a 1 y hasta aquí llegamos en este vídeo en el próximo veremos el concepto de valor esperado