La varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta

en el vídeo anterior definimos esta variable aleatoria x es una variable aleatoria discreta que solo puede tener un número finito de valores y la definimos como el número de ejercicios que puedo hacer en una semana y calculamos el valor esperado de esta variable aleatoria x que también podemos denotar como la media de x usamos la letra griega munch que se usa para denotar la media de la población todo lo que hicimos fue tomar la suma de las probabilidades ponderadas de los diferentes resultados y para esta variable aleatoria en particular con estas probabilidades específicas obtuvimos un valor esperado o media de 2.1 lo que vamos a hacer ahora es extender esta idea para medir la dispersión así que vamos a pensar cuál es la varianza de esta variable aleatoria y podemos calcular la raíz cuadrada de esto para encontrar la desviación estándar la forma en la que vamos a hacer esto se parece a lo que hemos hecho anteriormente para calcular la varianza la varianza de nuestra variable aleatoria x lo que vamos a hacer es calcular la diferencia entre cada resultado y la media elevada al cuadrado esa diferencia y luego multiplicar la por la probabilidad de dicho resultado por ejemplo para este primer dato tenemos 0 menos 2.1 al cuadrado por la probabilidad de 0 que es 0.1 sumamos 1 menos 2.1 al cuadrado multiplicado por la probabilidad de tener 10 punto 15 luego tenemos la suma de dos menos 2.1 al cuadrado multiplicado por la probabilidad de tener 2 que es 0.4 más 3 menos 2.1 al cuadrado por 0.25 y finalmente sumamos 4 menos 2.1 al cuadrado por 0.1 la diferencia de cada resultado y la media la elevamos al cuadrado y la multiplicamos por la probabilidad de ese resultado 2.1 al cuadrado por punto 1 el primer término más uno por menos 2.1 nos queda menos 1.1 al cuadrado si tenemos menos punto 1 por menos punto 1 nos va a dar punto 0 1 que es 1.1 al cuadrado por punto 15 esto es 2 menos 2.1 que es 0.1 al cuadrado que es punto 0 1 x punto 4 más esto es 3 menos 2.1 al cuadrado nos da a punto 81 que multiplicamos por punto 25 más 1.9 al cuadrado por punto 1 el resultado de todo esto es 1 punto 19 lo escribimos si queremos tener la desviación estándar de esta variable aleatoria x quede notaremos con la letra griega sigma la desviación estándar para la variable aleatoria x va a ser igual a la raíz cuadrada de la varianza la raíz cuadrada de 1.19 que es igual raíz cuadrada de 1.19 y es aproximadamente 1.09 veamos si esto tiene sentido pongamos esto en una recta numérica tenemos el 0 1 2 3 y 4 tenemos un 10 % de tener un 0 que dibujamos así la altura de un 10 por ciento tenemos 15 por ciento de tener un 1 que dibujamos así una y media veces más alto tenemos 40% de probabilidad de tener un 2 así que la altura aquí es 4 tenemos un 25 por ciento de probabilidad de tener un 3 que dibujamos así y tenemos un 10% de probabilidad de tener un 4 que no dibujamos a la misma altura que el primer dato esta es una visualización de esta distribución de probabilidad discreta no dibuje el eje vertical pero esta altura es punto 1 esta es punto 15 esta es punto 25 y esta es punto 4 la media está en 2.1 lo que tiene sentido porque aunque esta variable aleatoria solo tiene valores enteros podemos tener una media que sea un valor no entero la desviación estándar es 1.09 y 1.09 por encima de la media nos acerca a 3.2 1.09 por debajo de la media nos acerca a 1 todo esto parece razonable la media parece ser un indicador de la tendencia central de esta distribución y la desviación estándar parece ser una medida decente de esta dispersión