Distribución muestral de una proporción muestral (parte 1)

aquí tenemos una máquina con dulces de varios colores pero en esta ocasión nos vamos a fijar en los dulces de color amarillo digamos que sabemos que la proporción de dulces amarillos que hay aquí es p este es el parámetro de la población también vamos a decir que el 60% de los dulces son de color amarillo o el 0.6 de los dulces son de color amarillo repasemos algunas de las cosas que hemos visto con anterioridad definimos nuestra variable aleatoria de brno link como ye mayúscula es igual a uno cuando sale aleatoriamente de la máquina un dulce amarillo y es igual a 0 cuando sale un dulce de cualquier otro color que no es amarillo en vídeos anteriores aprendimos cosas interesantes sobre esta variable aleatoria de werniul y conocemos su media que es igual a la proporción de los dulces amarillos que hay aquí así que esto es igual a p que a su vez es igual a 0.6 también conocemos la desviación estándar de esta variable aleatoria de bernouilli es igual a la raíz cuadrada de x 1 - p esto es igual a la raíz cuadrada de punto 6 por punto 4 seguimos con el repaso ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria x que es igual a la suma de 10 ejecuciones independientes de allí ya hemos visto variables independientes como ésta antes esta es una variable aleatoria binomial y que sabemos de su media y desviación estándar en vídeos anteriores vimos que la media de esta variable aleatoria binomial va a ser igual a n por la media de cada una de las ejecuciones de esta variable de bernal y esto es n por p que en este caso es igual a 10 el número de ejecuciones por p qué es 0.6 esto tiene sentido porque si el 60% de los dulces de aquí son amarillos y hacemos 10 ejecuciones es decir tomamos un dulce de esta máquina vemos su color y lo regresamos a la máquina y hacemos lo mismo 10 veces podemos esperar que 6 de los dulces sean amarillos puede que no siempre tengamos 6 dulces amarillos es lo que esperaríamos la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de n por p por 1 simplemente agregamos una n dentro del radical y en este caso particular tenemos 10 por 0.6 por 0.4 y calculamos la raíz cuadrada del resultado todo esto es un repaso de cosas que ya hemos visto antes si algo de esto no les es familiar los invito a que revisen los vídeos que tenemos en caracas de mí sobre variables aleatorias de bernouilli y variables aleatorias binomial es lo que vamos a hacer en este vídeo será pensar en la distribución muestral y será la distribución muestral para la estadística conocida como la proporción muestral de la cual hablamos cuando presentamos el concepto de distribución muestral vamos a separar lo que repasamos y ahora vamos a tomar muestras de 10 dulces y son muestras de 10 veces porque quiero que coincidan con esta variable aleatoria tomamos muestras de 10 dulces y calculamos la proporción de dulces amarillos a esto le llamamos de la muestra a qué es esto equivalente podemos decir que es equivalente a la variable aleatoria x pues quiero contar el número de dulces amarillos y después vamos a dividirlo entre el tamaño de la muestra en este caso es x dividida entre 10 y quizá estén pensando en que x es la suma de 10 ejecuciones independientes y para que sean independientes no podemos tomar 10 dulces directamente debemos tomar uno por uno y devolverlos a la máquina cada vez para que sean verdaderamente independientes pero recuerden que tenemos la regla del 10% que nos dice que si una muestra es menor o igual al 10% de la población podríamos tratar a cada uno de los dulces en este caso de forma independiente imaginemos que aquí tenemos 10.000 dulces así que podemos considerar que debido a la regla del 10% la extracción de dulces en cada muestra son sucesos independientes una vez considerado esto podemos hacer esta afirmación digamos que para nuestra primera muestra la proporción de la muestra es 0.3 tres de los diez dulces resultaron ser amarillos después tomamos otra muestra y encontramos que la proporción de la muestra ahora es igual a 7 de 10 seguimos haciendo esto y los resultados los vamos a poner en una gráfica de puntos más o menos así tenemos todos los resultados posibles 0 de 10 1 de 10 2 de 10 3 4 5 vamos por la mitad 6 7 8 9 y 10 y colocamos los resultados de la proporción de cada muestra que tomamos aquí ponemos la primera que fue de 3 de 10 la siguiente muestra fue 7 de 10 luego tomamos otra muestra que también resultó con 7 dulces amarillos así que la gráfica mos aquí si seguimos tomando muestras calculando la proporción muestral de cada una e incluyendo la en la gráfica tendremos una aproximación mejor cada vez de la distribución muestral de proporciones pero como podemos caracterizar la verdadera distribución muestral para la proporción de la muestra cuál será la media y la desviación estándar de esta distribución muestral podemos deducir ambas de lo que tenemos aquí la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la media de la variable aleatoria x dividida entre n la media de x es n por p y al dividirla entre n nos queda que es igual a pp esto tiene sentido ya que el valor esperado de la proporción muestral es la proporción de dulces que vemos realmente esto es un buen indicador de que es un estimador in sesgado ahora pensemos en la desviación estándar de la proporción muestral podemos considerarla como la desviación estándar de la variable aleatoria binomial x / m es igual a la raíz cuadrada de n por p por 1 - p / m si ponemos la m dentro del radical tenemos que es igual a la raíz cuadrada de n por p por 1 - p / n al cuadrado nos queda la raíz cuadrada de p por 1 - p / n en esta situación particular donde el parámetro verdadero de la población es 0.6 cuál será la desviación estándar para la proporción muestral es igual a la raíz cuadrada de 0.6 por 0.4 entre 10 sacamos la calculadora y escribimos 0.6 por 0.4 entre 10 es igual a cero punto 0 24 y calculamos la raíz cuadrada de esto nos da aproximadamente 0.15 lo escribimos nos vemos en otro vídeo