Intervalo de confianza de la diferencia de medias

nueva dieta baja en grasas realmente ayuda a la gente obesa a perder peso 100 personas obesas elegidas aleatoriamente son asignadas al grupo 1 y se les pone en la dieta baja en grasa otras 100 personas obesas elegidas aleatoriamente son asignadas al grupo 2 y se les pone una dieta de aproximadamente la misma cantidad de comida pero no tan baja en grasa ok entonces el grupo 12 es el grupo control no le va a tocar dieta al 1 si es para comparar luego tras 4 meses la pérdida de peso promedio fue de 9.31 libras para el grupo 1 déjame escribir esto por acá entonces la pérdida de peso promedio lo voy a escribir así para la dieta baja en grasa la pérdida de peso promedio fue igual a 9.31 libras entonces nuestra media muestral fue 9.31 libras y la desviación estándar muestral fue de 4.67 estos de aquí son bien fáciles de encontrar nos los dan directamente y luego para el grupo control para el grupo control tenemos que la media muestral fue 7.40 libras entonces la media muestral fue 7.40 libras y la desviación estándar muestral fue igual a 4.04 ahora si vemos muy superficialmente esta información pues parece ser que el grupo bajo en grasas y perdió más peso que el grupo control es una observación basándose sólo en las muestras mira vamos a tomar la diferencia vamos a tomar la diferencia entre el grupo bajo en grasas y el grupo control esto de aquí que nos da a ver es 9.31 menos 7.40 ok esto de ahí es igual a sabes que voy a sacar la calculadora entonces nos queda 9.30 y 17.4 que es un 1.91 ok entonces es 1.91 la diferencia de nuestras muestras fue un 1.91 así con los puros numeritos pues a lo mejor podríamos decir que las personas que están en la dieta realmente pierden un 1.91 más que las que no lo que queremos hacer en este vídeo es obtener un intervalo de confianza de 95% alrededor de este valor para ver que realmente con un 95% de probabilidad en la dieta uno se pierde más que en la dieta 2 o quien sabe a lo mejor sale que no verdad entonces eso es lo que haremos abrir sacar un intervalo de confianza en el siguiente haremos una comparación de hipótesis con la misma información ahora para obtener el intervalo de confianza del 95% tenemos que pensar en la distribución en la que estábamos pensando entonces va a quedar algo así eso sonó raro lo de pensar en lo que estábamos pensando más bien vamos a pensar en la distribución de probabilidad de la diferencia de las medias muestrales esta distribución va a tener cierta media pues cierta media real vamos a llamarle mu de déjame escribirlo un poco más arriba va a ser muy de equis barra menos de barra la diferencia entre las medias muestrales pero en vez de ser que son x1 y x2 la media de x1 barra menos x2 barra luego esta distribución va a tener cierta desviación estándar cierta desviación estándar sigma de de x1 barra menos a ver es la diferencia de las medias muestrales entonces es x2 barra verdad es sigma de x 1 barra menos x 2 barras ahora lo que queremos hacer es una inferencia o bueno más bien de encontrar un intervalo de confianza del 95% alrededor de nuestra muestra del 1.91 es decir queremos dar un intervalo alrededor de 1.91 en el cual confiamos que el 95% de las veces la verdadera media va a caer ahí para hacer esto vamos a voltear la pregunta vamos a construir el intervalo alrededor de la media y en vez de construirlo alrededor del 1.91 entonces la pregunta ahora sería cómo le hacemos para construir un intervalo alrededor de la media de tal forma que con 90 5 % de seguridad cualquier muestra de esta distribución por ejemplo está con 95% de seguridad cualquier muestra de esta distribución caiga en esta área de aquí entonces esta área que estoy marcando es del 95% 95% entonces cuántas desviaciones estándar nos tenemos que ir en cada dirección ajá pues para hacer esto va a haber una tabla zeta pero recordemos con 95% en el centro tenemos que tener 2.5 por acá y 2.5 por ciento por acá debemos tener 5% repartido equitativamente en estas dos colas simétricas ahora cuando veamos la tabla zeta necesitamos el valor crítico que queda justo aquí pero hay que tener cuidado no vamos a buscar 95% porque la tabla zeta nos da la probabilidad acumulada hasta ese punto más bien tenemos que leerla como sigue entonces la tabla tenemos que interpretarla así esto de aquí nos va a dar un cierto valor pero lo que vamos a tener es 2.5 arriba pero si tenemos 2.5 por ciento arriba entonces tenemos que ver cuánto tenemos todo hacia atrás incluyendo la otra cola que eliminamos entonces tenemos esta área de aquí que es de 97.5 por ciento muy bien ahora si podemos encontrar el valor z de aquí pues va a ser el mismo valor de z para acá entonces simplemente tenemos que pensarlo pues en este caso y ahora sí ya con esto podemos buscar a 97.5 en la tabla entonces a ver 97.5 está 97 acá está este de aquí es punto 97 50 o sea 97.5 por ciento esto nos da un valor z de 1.96 entonces esto es z igual a 1.96 muy bien ahora eso lo que nos dice es que sólo el 2.5 por ciento de los resultados o bueno de las muestras de esta población van a caer arriba de pues de 1.96 desviaciones estándar a partir de la media entonces es 1.96 pero 1.96 desviaciones estándar entonces por sigma de x1 barra menos x2 barra y pues de este lado tenemos menos 1.96 por la misma cosa déjalo pongo más a la izquierda para que quepa es simétrico verdad esta distancia es la misma que esta de acá entonces nos queda menos 1.96 por la desviación estándar de la diferencia de las medias muestrales entonces si hay un 95 por ciento de probabilidad haber dejarlo escribo por acá entonces hay un 95 por ciento de probabilidad 95 por ciento de probabilidad de de que nuestra muestra de la diferencia de las medias muestrales caiga a 1.96 desviaciones de la media real con numeritos hay un 95 por ciento de probabilidad de que 1.91 caiga caiga y caiga y me lo voy a poner así me voy a poner este esta distancia a esta distancia 1.96 por sigma de x 1 - x 2 barras o sea la desviación estándar de esta distribución de la desviación estándar de este estadístico bueno otra forma de decirlo es que hay un que déjame acabar la oración de arriba 95% de qué 1.91 1.91 es el valor de la muestra desde el estadístico que obtuvimos este a 1.96 desviaciones estándar de d la media verdad the moon the moon the x 1/2 x 2 bar o podríamos decirlo al revés que hay un 95 por ciento de probabilidad de que la verdadera media mude x 1 - x 2 con barras verdad este este a 1.96 desviaciones estándar sigma de x1 barra menos x2 barra de nuestro valor de 1.91 esto de aquí es equivalente si yo estoy a tres metros de ti tú estás a tres metros de mí ok esto es una distancia es simétrica ahora como lo hicimos de esta forma va a ser muy claro cómo construir el intervalo de confianza para hacer esto simplemente tenemos que determinar cuánto vale esta expresión o sea cuánto es esta distancia de aquí y para determinar esta distancia basta determinar cuál es la desviación estándar de esta distribución bueno pues la desviación estándar de la diferencia de las muestras va a ser igual a y esto es algo que estuvimos trabajando en el vídeo pasado de hecho creo que lo tengo por aquí abajo y ésta va a ser igual a la raíz cuadrada raíz cuadrada de la varianza de cada una de esas cosas pesadas con el tamaño de la muestra ahorita voy a reescribir esto por acá este por acá arriba va es decir la varianza va a ser igual a la suma de las variantes al cuadrado lo escribo por acá arriba mejor entonces nos queda lo siguiente nos queda que la varianza es igual a creo que es mejor si lo vuelvo a reducir entonces la varianza de la diferencia de las medias muestrales va a ser igual a la suma de las varianzas de cada una de estas distribuciones o sea esta y esta sigma de x2 barra cuadrada ahora ya sabemos que la varianza de cada una de estas está dada por el teorema del límite central de la siguiente forma como sigma cuadrada de la población de x1 dividido entre el tamaño de la muestra y aquí el tamaño de la muestra es 100 y luego tenemos que sumar la varianza de la segunda distribución muestral está de acá del grupo control entonces en nuestro grupo control más sigma de x2 de la población al cuadrado dividido entre ciento o sea la varianza entre el tamaño de la muestra ahora como no sabemos cuánto valen estos números podemos aproximar los y sobre todo porque la en es bien grande esto sigma que son los de la población podemos aproximar los con nuestras varianzas muestrales esas varianzas muestrales nos las dan en el ejercicio entonces déjame escribirlo por aquí abajo y esto es igual a ese 1 al cuadrado o sea la desviación estándar 1 al cuadrado que es la varianza dividido entre 100 y luego tenemos que sumar lo mismo con ese 2 o sea la desviación estándar 2 elevado al cuadrado verdad esto de aquí es la varianza de la muestra dividido entre el tamaño de la muestra ahora estoy aquí nos va a dar la varianza nos va a dar la varianza para esta distribución para la distribución de la diferencia de las medias muestrales si queremos la desviación estándar vamos que saca la raíz cuadrada entonces si queremos encontrar la desviación estándar de la diferencia de las medias muestrales ahorita tenemos la varianza tenemos que sacar la raíz y se convierte en la desviación estándar vamos a calcularlo porque conocemos los valores aquí nos dicen que ese 13 4.67 4.67 y que ese 12 4.04 entonces nos queda lo voy a copiar aquí 4.67 y el de acá es 4.04 muy bien vamos a tener que elevado al cuadrado hacer la cuenta y todo eso vamos a sacar la calculadora y entonces lo ponemos por aquí nos quedaría la raíz cuadrada de haberes 4.67 elevado al cuadrado y dividido entre 100 mas 4.04 elevado al cuadrado y dividido entre ciento ahí está cerramos el paréntesis y pues le damos enter para ver cuánto nos queda 30.617 10.617 entonces esto de aquí es igual a es igual a 0.6 17 y pues regresamos para acá arriba acabamos de calcular esta desviación estándar de la distribución y es 0.6 17 muy bien entonces ahora si podemos encontrar nuestro intervalo porque es la distancia que necesitábamos una vez que la multiplicamos por 1.96 entonces multiplicando ese resultado 1.96 por punto 61 7 le voy a poner el resultado nos queda 1 punto 21 02 1.21 pues entonces este número la distancia que nos interesa es igual a 1.21 muy bien entonces hay un 95 por ciento de probabilidad de que caigamos en el intervalo determinado por un 1.91 más menos 1 punto 21 1.91 más menos este numerito de acá 1.21 muy bien entonces nuestro intervalo de confianza pues hay que hacer el extremo izquierdo y el extremo derecho el extremo izquierdo es restando los verdad 1.91 menos 1.21 simplemente es punto 7 queda 0.7 y luego arriba nos queda 1.91 + 1.21 que nos queda creo que de 2.12 ya sabes que déjame sacar la calculadora para ver que no nos estemos equivocando 1.91 más 1.21 a mieres 3.12 que bueno que lo hice en la cálculo no es 2.2 3.12 deja burro esto nos queda 3.12 muy bien ahora solo para dejar todo muy claro o sea no hay exactamente una probabilidad así este asegura dijimos de 95% de que caigamos en este intervalo simplemente estamos que simplemente confiamos en que hay un 95 por ciento de probabilidad porque pues aquí abajo por ejemplo no usamos la verdadera varianza o la verdadera desviación estándar la estimamos con la desviación estándar de nuestra muestra así no es una probabilidad exacta no estamos 95 por ciento seguros nada más confiamos en que con 95 por ciento de probabilidad vamos a caer en ese intervalo de ahí muy bien esto de aquí es un resultado bien bonito ahora ya tenemos un 95 por ciento de confianza por así decirlo de que vamos a caer en ese valor es decir de que la diferencia de que la media de estas diferencias va a caer ahí ahora recuerda la media de las diferencias y como lo explico saber la media de las diferencias es lo mismo que la diferencia de las medias entonces pues o sea lo que nos quedaría es que el valor esperado de la diferencia de las medias es lo mismo que la diferencia del valor esperado de las medias de la población y entonces esto es un resultado no para la muestra sino que es un resultado para la verdadera diferencia de los valores esperados de las libras que se pierden en cada una de las dietas en la dieta 1 y en la dieta 2 va con esto en mente parece ser que la dieta 1 la que es baja en grasas si funciona de hecho incluso en el extremo izquierdo de nuestro intervalo de confianza del 95% se pierde más peso con esta dieta aquí le dejamos en el siguiente vídeo haremos una comparación de hipótesis