Introducción a la potencia en las pruebas de significancia

lo que vamos a hacer en este vídeo será hablar sobre el concepto de potencia de una prueba de significancia aunque la idea de potencia aparece en los primeros cursos de estadística resulta que es algo que puede ser difícil de calcular sin embargo es interesante saber lo que significa y los mecanismos para aumentar o disminuir la potencia de una prueba de significancia vayamos al punto la potencia es una probabilidad la podemos considerar como la probabilidad de que estamos haciendo lo correcto cuando la hipótesis nula es falsa es decir la probabilidad de rechazar la hipótesis nula dado que es falsa así planteada la puedes ver como una probabilidad condicional sin embargo hay otra manera de conceptualizar la en relación con errores tipo 2 tenemos que esto también es igual a 1 menos la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula en el caso en el que la hipótesis nula es falsa esto que acabo de escribir no rechazar la hipótesis nula en el caso en el que la hipótesis nula es falsa es la definición de error tipo 2 por lo que podemos ver la potencia como la probabilidad de no cometer un error tipo 2 o 1 - la probabilidad de hacer un error tipo 2 espero que esto no te resulte confuso déjame escribir esto entonces es igual a la probabilidad de no cometer un error tipo 2 así que cuáles son los aspectos que influyen en la potencia para poder comprender esto voy a extraer dos distribuciones muestrales una en la que vamos a suponer que la hipótesis nula es verdadera y la otra en la que vamos a suponer que la hipótesis nula es falsa es decir que el valor real del parámetro poblacional es distinto al establecido en la hipótesis nula por ejemplo supongamos que tenemos una hipótesis nula en la cual la media poblacional es igual a mu 1 y tenemos una hipótesis alternativa h que establece que la media poblacional es diferente a mu 1 así que suponiendo que estamos en la situación en la cual la hipótesis nula es verdadera cuál sería la distribución muestral recuerda lo que hacemos en pruebas de significancia es que tenemos una población déjame dibujarla aquí tenemos una población nuestras hipótesis establecen una aseveración sobre algún parámetro de la población las cuales probamos al tomar una muestra de cierto y calculamos un estadístico en este caso sería la media de nuestra muestra y evaluamos la probabilidad de obtener dicho estadístico suponiendo que la hipótesis nula es verdadera si esa probabilidad es menor que cierto umbral llamado nivel de significancia rechazaremos entonces la hipótesis nula lo anterior lo podemos pensar de la siguiente manera en caso de que la hipótesis nula sea verdadera tendríamos una distribución muestral que se vería algo así la hipótesis nula es verdadera así que en el centro de la distribución estaría el valor de mu 1 y la forma precisa de la distribución muestral estará dada por el tamaño de la muestra al incrementarse el tamaño de la muestra esto sería más angosto al disminuir el tamaño de la muestra esto sería más amplio establecemos un nivel de significancia que básicamente es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula que es verdadera como ya hemos mencionado podemos considerar el nivel de significancia como la probabilidad de cometer un error tipo 1 entonces el nivel de significancia lo podemos representar como cierta área digamos que es esta área que estoy sombreando en anaranjado aquí está corresponde al nivel de significancia así que si al tomar una muestra y calcular su media ésta cae en alguna de estas regiones entonces rechazaremos la hipótesis nula si resulta que la hipótesis nula es verdadera estarías cometiendo un error tipo 1 sin darte cuenta sin embargo para la potencia nos interesa el error tipo 2 en este caso tenemos una probabilidad condicional dado que la hipótesis nula es falsa entonces construyamos otra distribución muestral para en el caso en que la hipótesis nula sea falsa voy a extender mi eje aquí imaginemos un escenario en el que la hipótesis nula es falsa para el cual se cumple que la media es mu 2 supongamos que mu 2 está por aquí así que en este escenario la distribución muestral podría verse así de nueva cuenta dependiendo del tamaño de la muestra a mayor tamaño de la muestra esta curva de campana será más estrecha se podría ver entonces algo así en este caso deberíamos rechazar la hipótesis nula pero cuáles son las muestras en las que no vamos a rechazar la hipótesis nula a pesar de que tenemos que hacerlo no vamos a rechazar la hipótesis nula si obtenemos una muestra aquí o aquí o aquí una muestra para la cual si se supone que la hipótesis nula es verdadera su probabilidad no es tan baja así que la probabilidad de cometer un error tipo 2 cuando deberíamos rechazar la hipótesis nula lo cual no hacemos corresponde a esta área que tenemos aquí y la potencia la probabilidad de rechazar la hipótesis nula dado que es falsa está representada por esta distribución en morado eso será el resto del área que tenemos aquí entonces cómo podemos aumentar la potencia una manera es incrementar alfa incrementar el nivel de significancia recuerda que el nivel de significancia está representado por esta área al aumentar esta área incrementamos el nivel de significancia lo cual resulta en un aumento de la potencia ahora esta región amarilla es mayor hemos movido este límite a la izquierda te podrías preguntar entonces si incrementar la potencia es algo que queremos porque no simplemente aumentamos el valor de alfa el problema con eso déjame escribirlo aquí si incrementas alfa eso va a incrementar la potencia pero también aumentará la probabilidad del error tipo 1 recuerda que esa es una manera de concebir alfa como la probabilidad del error tipo 1 de qué otra forma podríamos incrementar la potencia si aumentamos el tamaño de la muestra estas distribuciones van a ser más angostas y como puedes ver aquí si ambas distribuciones se hacen angostas la situación en la cual no vas a rechazar la hipótesis nula aunque deberías va a corresponder a una región con un área más pequeña otra manera de ver esto es que va a haber menos traslape entre estas dos distribuciones muestrales déjame escribir lo anterior si incrementas en el tamaño de la muestra esto incrementará la potencia esto en general es mejor si es que puedes hacerlo otra situación que podría estar o no bajo tu control es a medida que sea menor la variabilidad de los datos eso también va a ocasionar que estas distribuciones muestrales sean más angostas y eso también aumentará la potencia así que a menor variabilidad de los datos la cual podemos pedir con la varianza o la desviación estándar eso va a incrementar la potencia la potencia también aumentará a medida que el valor real del parámetro se aleje del establecido en la hipótesis nula escribamos lo valor del parámetro alejado de la hipótesis nula lo que establece eso también va a incrementar la potencia estas dos últimas no están por lo general bajo tu control pero el tamaño de la muestra y el nivel de significancia así lo están sin embargo con el nivel de significancia hay un costo si incrementamos la potencia con esto también incrementamos la probabilidad del error tipo 1 se da el caso de que algunos investigadores plantean si el error tipo 2 es más crítico estoy dispuesto a asumir el costo voy a aumentar el nivel de significancia pero si el error tipo 1 resulta más crítico entonces no usaré esta alternativa en cualquier caso el incrementar el tamaño de la muestra si lo puedes hacer es lo mejor nos vemos en el próximo vídeo