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Estadística y probabilidad

Curso: Estadística y probabilidad > Unidad 3

Lección 5: La varianza y la desviación estándar de una muestra

Repaso de desviación estándar de la población y de la muestra

Desviación estándar de la muestra y de la población

La desviación estándar mide la dispersión de una distribución de datos. Mide la distancia típica entre cada punto de datos y la media.

La fórmula que usamos para la desviación estándar depende de si los datos se consideran una población en sí misma, o si los datos son una muestra que representa a una población más grande.

Si los datos se consideran una población por sí misma, dividimos entre el número de datos, $N$ ‍.
Si los datos son una muestra de una población más grande, dividimos entre uno menos que el número de datos en la muestra, $n - 1$ ‍.

Desviación estándar de la población:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Desviación estándar de la muestra:

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Los pasos en cada fórmula son todos iguales excepto uno, dividimos entre uno menos que el número de puntos de datos cuando se trata de los datos de la muestra.

Iremos a través de cada fórmula paso a paso en los siguientes ejemplos.

Por qué dividimos entre $n - 1$ ‍ es un concepto bastante complejo. Si quieres aprender más sobre las ideas intuitivas detrás de este tema, revisa este video.

Desviación estándar de la población

Aquí te damos la fórmula para la desviación estándar de la población:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

Para calcular la desviación estándar de la población:

Paso 1: calcula la media de los datos, es decir

μ

en la fórmula.

Paso 2: resta la media a cada punto de datos. A estas diferencias se les llama desviaciones. Los puntos de datos menores que la media tendrán desviaciones negativas, y los puntos mayores que la media tendrán desviaciones positivas.

Paso 3: eleva al cuadrado cada desviación para hacerla positiva.

Paso 4: suma el cuadrado de las desviaciones.

Paso 5: divide la suma entre el número de puntos de datos en la población. Al resultado se le llama la varianza.

Paso 6: saca la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar.

Ejemplo: desviación estándar de la población

Cuatro amigos estaban comparando sus calificaciones en un ensayo reciente.

Calcula la desviación estándar de sus calificaciones:

6

2

3

1

Paso 1: encuentra la media.

μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3

La media es una calificación de

3

Paso 2: resta la media de cada calificación.

Calificación: $x_{i}$ ‍	Desviación: $(x_{i} - μ)$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍

Paso 3: eleva al cuadrado cada desviación.

Calificación: $x_{i}$ ‍	Desviación: $(x_{i} - μ)$ ‍	Desviación al cuadrado: $(x_{i} - μ)^{2}$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍	$(- 1)^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍	$(0)^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍

Paso 4: suma el cuadrado de las desviaciones.

9 + 1 + 0 + 4 = 14

Paso 5: divide la suma entre el número de calificaciones.

\frac{14}{4} = 3.5

Paso 6: saca la raíz cuadrada del resultado del Paso 5.

\sqrt{3.5} \approx 1.87

La desviación estándar es de aproximadamente

1.87

¿Quieres aprender más sobre la desviación estándar de la población? Echa un vistazo a este video.

¿Quieres practicar con algunos problemas similares? Revisa este ejercicio de desviación estándar de la población.

Desviación estándar de la muestra

Aquí te damos la fórmula para la desviación estándar de la muestra:

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

Para calcular la desviación estándar de la muestra:

Paso 1: calcula la media de los datos, es decir

\bar{x}

en la fórmula.

Paso 3: eleva al cuadrado cada desviación para hacerla positiva.

Paso 4: suma el cuadrado de las desviaciones.

Paso 5: divide la suma entre el número de puntos de datos de la muestra menos uno. Al resultado se le llama la varianza.

Paso 6: saca la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar.

Ejemplo: desviación estándar de la muestra

Se tomó una muestra de

4

estudiantes para ver cuántos lápices llevaban.

Calcular la desviación estándar de sus respuestas:

2

2

5

7

Paso 1: encuentra la media.

\bar{x} = \frac{2 + 2 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4

La media de la muestra es

4

lápices.

Paso 2: resta la media de cada calificación.

Lápices: $x_{i}$ ‍	Desviación: $(x_{i} - μ)$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍

Paso 3: eleva al cuadrado cada desviación.

Lápices: $x_{i}$ ‍	Desviación: $(x_{i} - \bar{x})$ ‍	Desviación al cuadrado: $(x_{i} - \bar{x})^{2}$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍	$(1)^{2} = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍

Paso 4: suma el cuadrado de las desviaciones.

4 + 4 + 1 + 9 = 18

Paso 5: divide la suma entre el número de puntos de datos menos uno.

\frac{18}{4 - 1} = \frac{18}{3} = 6

Paso 6: saca la raíz cuadrada del resultado del Paso 5.

\sqrt{6} \approx 2.45

La desviación estándar es de aproximadamente

2.45

¿Quieres aprender más sobre la desviación estándar de la muestra? Echa un vistazo a este video.

¿Quieres practicar con algunos problemas similares? Revisa este ejercicio sobre la desviación estándar de la muestra y de la población.

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