Identidades trigonométricas de suma de ángulos

ya he hecho un montón de vídeos que cubren lo que voy a abordar en este vídeo y la razón por la que estoy haciendo esto es porque tengo la necesidad de repasar yo mismo porque el descuento que estaba haciendo algunos problemas de cálculo que requerían que supiera esto y ahora que ya tenemos un buen software para grabar pues así matamos dos pájaros de un tiro' yo yo grabó un vídeo nuevo de identidades trigonométricas y al mismo tiempo podemos repasar juntos qué es lo que lo que nos dicen estas identidades así que tenemos que partir de algunas identidades que ya he demostrado y que no lo voy a hacer aquí porque sería muy complicado pero pueden repasar los vídeos y voy a partir de ésta principalmente que es el seno de hamás b ok esto es igual al seno de a nos tomamos el primero y luego lo multiplicamos por el coseno del segundo y luego sumamos el seno del segundo seno debe por el coseno primero muy bien esta es la identidad de la cual vamos a partir y con esta inmediatamente podemos deducir la siguiente qué pasa si yo quiero calcular el seno de a más menos un ángulo menos sé digamos ok esto es lo mismo que a menos es verdad entonces simplemente si sustituimos en esta fórmula de acá arriba que es lo que nos da a ver tendremos seno de a seno de a por el coseno de menos de menos más el seno de menos c por el cose no vea muy bien entonces ahora hay que recordar otra cosa hay que recordar otra cosa y es que el coseno el co seno de menos sé quién es pues simplemente es coseno desee para el coseno no le importan los signos simplemente se los come muy bien y esto es justamente la propiedad de que el coche no sea una función par que no le no le pase nada con los signos por otro lado tendremos la propiedad que es el de seno de menos c es igual a aquí lo que va a pasar con él con el signo menos es que sale del pse no va a ser menos seno de sé muy bien y esta es la propiedad de que la función se no sea una función impar muy bien entonces si utilizamos esto en nuestra formulita de acá arriba que es lo que nos queda nos queda que esto será igual al seno de a se queda igual seno de a por el coseno de menos que es el coche no desee muy bien y ahora tenemos aquí seno de menos esto es menos seno de se por el coseno idea muy bien y esto es el seno de a menos verdad oa más menos es lo mismo es la resta eso es lo importante ok entonces otra otra fórmula que tenemos que tener muy en mente es es la siguiente que el cose no la suma el coseno de una suma de ángulos se nos ve esto aquí lo que va a pasar con el coche no es que no se mezclan senos con cosenos simplemente tendremos coseno de a por el coche no debe y aquí va un menos menos seno de a se no debe muy bien esta fórmula también ya la hemos visto en otros vídeos así que vamos a darla por hecho y con esto podemos deducir cuál es el coste no de a menos b verdad porque si sustituimos que es lo que vamos a tener coseno de a por el coseno de - b pero dijimos que no le hace nada el signo verdad entonces simplemente nos queda jose no debe ahora aquí vamos a tener seno de a por el seno de menos b pero el seno de menos b es menos el seno de b que con este menos de aquí se cancela y entonces nos queda más seno de a se no debe muy bien entonces hasta aquí vamos muy bien y estas son las identidades de las cuales voy a partir muy bien vamos a ver qué vamos a tener fíjense que con esto vamos a obtener muchísimas identidades vamos a ver qué pasaría si yo quiero ser saber o calcular cuál es el co seno de un doble ángulo o de dos veces a muy bien esto por pues simplemente porque dos veces a es lo siguiente a más a verdad entonces yo puedo utilizar el co seno de una suma para calcular coseno de a más entonces esto es coseno de a por el coseno de la segunda que es coseno de a menos seno de a seno de a por el seno de la segunda que esencialmente no es que sea la segunda es la misma verdad entonces esto que es lo que nos queda esto nos queda simplemente coseno dea por coseno de a es coseno cuadrado de a y seno de a por seno de a es seno cuadrado de así hay que restar seno cuadrado de a muy bien entonces una fórmula para el coseno del doble ángulo es las siguientes coseno de 2 aesco seno cuadrado menos seno cuadrado y ahora voy a empezar enmarcar todas las identidades que vamos obteniendo en este vídeo esta es la primera que obtuvimos coseno de 2 a escocia no cuadrado menos seno cuadrado muy bien y ahora qué pasaría si por ejemplo yo quiero que el coseno del doble ángulo quede solo en términos del coseno ok aquí tenemos un seno que tal que yo quiero que sólo quede en términos de coseno bueno pues para esto hay que recordar que las funciones trigonométricas vienen de nuestro círculo unitario verdad cumplen la identidad básica y fundamental de la de la trigonometría que es esto el seno cuadrado más el coseno cuadrado es igual a 1 muy bien entonces cómo podemos saber aquí tenemos un seno cuadrado entonces aquí podemos despejar seno cuadrado por ejemplo si restamos coseno cuadrado de ambos lados tendremos seno cuadrado de a igual a 1 - el coseno cuadrado de a muy bien entonces esto de aquí lo podemos sustituir en esta parte de acá arriba y que es lo que nos queda nos queda igual al coseno cuadrado de a menos y aquí es en donde sustituimos seno cuadrado que es uno menos coseno cuadrado de perdón así menos coseno cuadrado de ahí estamos bien muy bien y esto que va a ser igual bueno aquí tenemos este coseno cuadrado de a menos uno y aquí tenemos menos menos coseno cuadrado de a que es más coseno cuadrado de a y esto al sumarlo simplemente fíjense que aquí tenemos un coseno cuadrado y otro coseno cuadrado y luego le restamos uno entonces nos queda dos veces el coseno cuadrado de a menos ok y con esto ya podemos concluir que esta es otra forma de escribir el coseno de 2a muy bien y este también lo voy a enmarcar porque ya es otra identidad que obtuvimos ahí está entonces ahora piensen en lo siguiente qué pasa si yo quiero hallar quién es el coseno cuadrado de a ok quién sería el coseno cuadrado de a bueno con esta identidad que acabo de enmarcar yo puedo calcular quién es el coseno cuadrado de a vamos a ver cómo es eso voy a bajar un poco y tenemos dos veces por ejemplo si de aquí sumamos uno de ambos lados tendremos dos coseno cuadrado de a es igual a coseno de dos a más uno verdad y ahora si dividimos de ambos lados entre dos tendremos coseno cuadrado de a es igual a un medio por el coseno de dos a más uno muy bien y así es otra forma de ver el coseno cuadrado de a muy bien ahí lo tienen este es el coseno cuadrado de ahí esta identidad a veces se le conoce como la identidad de reducción de potencia y fíjense que es porque aquí tenemos una potencia de 2 aparece con potencia 1 aunque aparece con un 2 en el argumento del coseno verdad en donde estamos evaluando el coseno muy bien ahora ya tenemos una fórmula para coseno cuadrado kit qué tal si queremos encontrar una fórmula para el seno cuadrado bueno de aquí de esta de acá arriba ahora en vez de despejar el seno cuadrado despejamos el coseno cuadrado y que es lo que tenemos coseno cuadrado de a es igual a restamos seno cuadrado de ambos lados y nos queda uno menos seno cuadrado de a muy bien entonces con esto podrían 1 por ejemplo tomar este esta fórmula de aquí esta fórmula que tenemos en rosa déjenme ponerla y en vez de poner coseno cuadrado vamos a poner este 1 - seno cuadrado muy bien entonces tenemos coseno de 2a es igual a en vez de este coseno cuadrado pongo uno menos seno cuadrado de a muy bien - seno cuadrado de a ok entonces quien es esto esto es igual a 1 - aquí tengo menos seno cuadrado de a y restó otro seno cuadrado de a ahí tenemos menos 2 seno cuadrado de ahí y esto es el coseno de 2 entonces si de aquí despejó seno cuadrado ya podremos obtener la identidad que estábamos buscando vamos a ver esto lo podemos hacer de la siguiente de hecho este este lo pueden marcar verdad es otra identidad para escribir el coseno de 2 a si se dan cuenta ya tenemos muchas identidades para el coseno de 2 a pero bueno ahora vamos a ver tenemos que despejar de aquí seno cuadrado por ejemplo si restamos de ambos lados 2 seno cuadrado de a tendremos en más bien si sumamos verdad si sumamos de ambos lados sumamos de ambos lados 12 no cuadrado de a más coseno de 2a es igual a 1 ahora restamos de ambos lados coseno de 2a y nos queda 2 seno cuadrado de a le restamos este y nos queda uno menos coseno de 2a y ahora dividimos entre dos de ambos lados y nos queda seno cuadrado de a es igual a un medio de uno menos coseno de 2a muy bien y aquí ya tenemos esta fórmula para el seno cuadrado de un ángulo o de un número muy bien y fíjense bien en la asimetría que hay entre el seno cuadrado y el coseno cuadrado aquí en realidad el seno cuadrado y el cocinó cuadrado son exactamente iguales excepto que cambian el signo verdad simplemente tienen un signo contrario pero bueno eso eso era lo bonito que quería que observáramos vamos a seguir buscando cosas interesantes por ejemplo ya tenemos el coseno de dos veces un número que tal el seno seno de 2a por ejemplo y esto será igual al seno de a más y hay que recordar la fórmula que tenemos para el seno de una suma que es seno del primero coseno del segundo más seno del segundo coseno del primero entonces esto es seno del primero que es a por coseno del segundo que también está más seno del segundo que es a por coseno del primero entonces esencialmente si se dan cuenta cada uno de estos sumandos es igual y esto es igual esto es igual a dos veces seno de a por él coseno dea y esto es el seno de dos y muy bien en esta también la vamos a enmarcar porque es una fórmula que hemos obtenido y si se dan cuenta todo esto lo obtuvimos de identidades muy sencillas está por ejemplo estas de aquí y el coseno de una suma a las otras incluso hasta pudimos deducir las entonces creo que ya fueron suficientes identidad y perdón identidades o al menos yo necesito ya un buen descanso por suerte repasamos las identidades que necesitaba así que espero que que haya sido un buen repaso para ti también por supuesto puedes escribirlas o memorizar las pero lo más importante de todo esto es que puedas deducir las a partir de las entidades con las que con las que empezamos más bien al inicio del vídeo nos vemos pronto