Utilizar razones trigonométricas recíprocas

para el ángulo agudo que es este que tenemos aquí abajo el seno de va a ser igual a 5 entre raíz cuadrada de 41 y la cota en gente de hacer igual a 8 decimos encuentre los valores de las otras igualdades trigonométricas para resolver esto quiero usar zocato a nuestro neumónico para recordar las definiciones de cada identidad trigonométricas vamos a escribirlo soja y todas nos dice que el seno del ángulo que nos interesa que es el va a ser igual al cateto opuesto entre la hipotenusa si vemos este ángulo en el cateto opuesto a este ángulo es este que vale 5 entre la hipotenusa que es el lado opuesto a este ángulo recto y vemos que es raíz de 41 así que aquí tenemos información redundante ya que nos están dando también en el problema aquí vamos a escribirlo de todas maneras esto es igual a 5 entre la hipotenusa que es raíz de 41 ahora pensemos en el recíproco del seno que es la co secante de ccoo secante de cómo es el recíproco vamos a invertir estos elementos de manera que nos queda que es la hipotenusa entre el cateto opuesto y como tenemos estos valores simplemente los ponemos aquí va a ser la consecuente de igual a raíz de 41 el valor de la hipotenusa entre el valor del cateto opuesto que es 5 ahora nos toca revisar el coseno de aquí el mónico nos dice que el coseno de iu en este caso vamos a escribirlo por acá con seno de e es igual al cateto adyacente a entre la hipotenusa vemos el cateto adyacente de e es esta esta línea que va de el ángulo e al ángulo f y está marcada por esta etiqueta que dice a así que aquí no conocemos el valor todavía más adelante lo resolveremos vamos a dejar está aquí ya que todavía no conocemos cuáles son el valor que tiene pero la hipotenusa si sabemos que es la hipotenusa es raíz de 41 así que aquí lo sustituimos como raíz de 41 aprovechamos que tenemos ya el coseno para encontrar su recíproco que es la secante lo escribimos secante de e el recíproco vamos a invertir los valores va a ser la hipotenusa entre el cateto adyacente conocemos el valor de la hipotenusa que es raíz de 41 y aún desconocemos cuál es el valor del adyacente o de este lado que también coincide que tiene la letra minúscula así que va a ser esto la hipotenusa entre a para que quede más claro aquí voy a señalar con respecto al ángulo e cuál es el cateto opuesto en este caso este lado es el opuesto o puesto este que lado que está opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y este no cambia siempre va a ser este la hipotenusa hipotenusa a este lado que es etiquetado como a es el lado adyacente al ángulo adyacente entonces quedamos que nos falta nuestra última igualdad o nuestro último par de igualdades que es con respecto a la tangente nuestro armónico nos dice todas está en gente de tangente de igual al cateto opuesto entre el cateto adyacente / a sabemos el cateto opuesto conocemos el lado es este vale 5 aquí sustituimos entre a que es el adyacente y aquí me falta poner una está decente y no sabemos todavía cuánto vale este lado así que le dejamos la a aprovechando que ya tenemos la tangente vamos a encontrar su recíproco que es la co tangente la escribimos la cota en gente del ángulo e es el recíproco de la tangente por lo tanto va a ser a entre o adyacente entre opuesto que es igual a la literal a del lado adyacente entre 5 ahora necesitamos encontrar cuál es el valor de a para poder terminar de encontrar bien estos valores en los datos del problema nos dice que la cota en gente de vale 8 decimos y aquí acabamos de calcular que la contingente de es igual al adyacente entre 5 por lo que vamos a poner que esto es igual a los datos que nos están dando en el problema que esto es igual a 8 decimos cómo podemos resolver esto bueno tenemos por este lado entre 5 es igual a 8 decimos podemos ver que este se puede reducir ya que tiene un factor en común tanto en el numerador como en el denominador pero también lo que puedo hacer es despejar a como lo despejó bueno voy a multiplicar 5 en ambos lados de la ecuación me va a quedar que esto se cancela 8 por 540 decimos es igual a 40 decimos puede intentar 10 va a ser igual a 4 a es igual a 4 y ya que tenemos el valor de a pues lo que resta es sustituir esto en las igualdades trigonométricas que acabamos de encontrar por lo que la tangente de va a ser igual a 5 entre 4 la cota en gente de ella habíamos visto que era 8 décimos pero aquí sustituimos y nos queda que es cuatro quintos si multiplicamos el numerador y el denominador por 2 nos va a quedar que esto es igual a 8 décimas por lo que estas dos son equivalentes también vamos a sustituir está en el coseno de de manera que el coseno de va a ser igual a 4 entre raíz de 41 y finalmente la secante de va a ser igual a raíz de 41 entre 4 y con esto tenemos resueltas las seis igualdades trigonométricas que nos piden ahora podemos verificar que efectivamente este valor de igual a 4 es correcto si usamos el teorema de pitágoras que nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos va a ser igual al cuadrado de la hipotenusa tengo el cuadrado del cateto opuesto es 5 al cuadrado más el cuadrado del cateto adyacente 4 al cuadrado esto debe ser igual al cuadrado de la hipotenusa que es raíz de 41 al cuadrado nos da 5 x 5 es 25 + 4 x 4 16 esto debe ser igual a 41 y efectivamente 25 16 es igual a 41 por lo que esto verifica que nuestro resultado de a es correcto