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Curso: Trigonometría - Preparación Educación Superior > Unidad 2

Lección 4: Razones trigonométricas de ángulos agudos notables en triángulos rectángulos

Problemas sobre razones trigonométricas notables de ángulos agudos en triángulos rectángulos

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Problemas sobre razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos notables

Lo que necesitas saber para esta lección

Previamente debes revisar la lección sobre Razones trigonométricas de triángulos rectángulos.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aplicarás las razones trigonométricas de los triángulos rectángulos agudos notables de

30 °

60 °

45 °

45 °

37 °

53 °

en diversas situaciones.

Recuerda revisar la tabla para aplicar las razones trigonométricas en forma adecuada.

Razón	$30 °$ ‍	$60 °$ ‍	$45 °$ ‍	$37 °$ ‍	$53 °$ ‍
$sen α$ ‍	$\frac{1}{2}$ ‍	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ‍	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ ‍	$\frac{3}{5}$ ‍	$\frac{4}{5}$ ‍
$cos α$ ‍	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ‍	$\frac{1}{2}$ ‍	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ ‍	$\frac{4}{5}$ ‍	$\frac{3}{5}$ ‍
$tan α$ ‍	$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ‍	$\sqrt{3}$ ‍	$1$ ‍	$\frac{3}{4}$ ‍	$\frac{3}{4}$ ‍
$cot α$ ‍	$\sqrt{3}$ ‍	$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ‍	$1$ ‍	$\frac{4}{3}$ ‍	$\frac{4}{5}$ ‍
$sec α$ ‍	$\frac{2}{\sqrt{3}}$ ‍	$2$ ‍	$\sqrt{2}$ ‍	$\frac{5}{4}$ ‍	$\frac{5}{3}$ ‍
$csc α$ ‍	$2$ ‍	$\frac{2}{\sqrt{3}}$ ‍	$\sqrt{2}$ ‍	$\frac{5}{3}$ ‍	$\frac{5}{4}$ ‍

Ejemplo 1

Calcula el valor de:

\frac{\sin^{2} 30 ° + \cos^{2} 45 ° + \tan^{2} 60 °}{\sin^{2} 60 ° + \cos^{2} 30 ° + \tan^{2} 45 °}

Resolvemos la situación

En primer lugar vamos a reemplazar las razones trigonométricas de los ángulos notables. Observa con cuidado la tabla anterior.

\begin{aligned} \frac{\sin^{2} 30 ° + \cos^{2} 45 ° + \tan^{2} 60 °}{\sin^{2} 60 ° + \cos^{2} 30 ° + \tan^{2} 45 °} & = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(1)}^{2}} \\ = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3}{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} + 1} \\ = \frac{3}{2} \end{aligned}

Ejemplo 2

Calcula la longitud del segmento

\overset{―}{A C}

, si

\overset{―}{A B} = 6 \sqrt{2}

Resolvemos la situación

Anotamos el dato en la figura y como tenemos los ángulos notables de

45 °

37 °

, trazamos

\overset{―}{B H} ⊥ \overset{―}{A C}

para formar triángulos rectángulos.

En el

△ A H B

( triángulo rectángulo notable de

45 °

45 °

) tenemos que

\overset{―}{A H} = 6

\overset{―}{B H} = 6

En el

△ B H C

(triángulo rectángulo notable de

37 °

53 °

) tenemos que

\overset{―}{B H} = 6

\overset{―}{H C} = 8

Luego,

\overset{―}{A C} = \overset{―}{A H} + \overset{―}{H C}

\Rightarrow \overset{―}{A C} = 6 + 8 = 14

Por tanto,

\overset{―}{A C} = 14

Ejemplo 3

Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide

37 °

. Calcula su perímetro si la hipotenusa del triángulo mide 20 cm.

Resolvemos la situación

Graficamos y colocamos los datos:

Por ser un triángulo rectángulo de

37 °

53 °

, la relación entre sus lados es la que se indica en el gráfico.

Como la hipotenusa mide

20 cm

y es equivalente a

5 k

, se tiene:

5 k = 20 \Rightarrow k = 4

Entonces, los catetos del triángulo son:

4 k = 4 (4) = 16 y 3 k = 3 (4) = 12

Por tanto, su perímetro es:

20 cm + 16 cm + 12 cm = 48 cm

Ejemplo 4

Desde la azotea de un edificio, Sara observa la parte más alta y la parte más baja de una torre, tal como se muestra en la figura.

Si Sara se encuentra a una distancia de

20 m

de la torre, ¿cuál es la altura de la torre?

Resolvemos la situación

Observamos en el gráfico los triángulos rectángulos que se han formado. Tenemos que $\overset{―}{B D} = \overset{―}{A M} = 20 m$ ‍ y $\overset{―}{A M} = \overset{―}{C M}$ ‍ (ya que el $△ A M C$ ‍ es de $45 °$ ‍ y $45 °$ ‍). Por tanto, $\overset{―}{A M} = \overset{―}{C M} = 20 m$ ‍
En el $△ A M D$ ‍ (de $30 °$ ‍ y $60 °$ ‍), se observa que

\begin{aligned} \tan 30 ° & = \frac{\overset{―}{M D}}{20} \\ \Rightarrow \overset{―}{M D} = 20 \tan 30 ° \end{aligned}

Como

\tan 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}

, se tiene

\overset{―}{M D} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \overset{―}{M D} \approx 11. 55

metros.

Calculamos la altura de la torre:

\begin{aligned} h & = \overset{―}{M D} + \overset{―}{C M} \\ = 11.55 + 20 = 31.55 m \end{aligned}

La altura de la torre es de

31.55

metros aproximadamente.

Ejemplo 5

θ

es un ángulo agudo, tal que

\cos (θ + 10 °) = \frac{1}{2}

, halla el valor de

\cot (θ + 3 °)

Resolvemos la situación

Por dato, sabemos que:

\cos (θ + 10 °) = \frac{1}{2}

. También sabemos que

θ

es un ángulo agudo.

Por lo que sabemos de triángulos rectángulos notables, se desprende que

θ + 10 ° = 60 °

, ya que

\cos 60 ° = \frac{1}{2}

. Entonces,

θ = 50 °

Como se pide hallar

\cot (θ + 3 °)

; reemplazamos y obtenemos:

\begin{aligned} \cot (θ + 3 ° & ) = \cot (50 ° + 3 °) \\ = \cot 53 ° \end{aligned}

Es decir,

\begin{aligned} \cot (θ + 3 °) & = \cot 53 ° \\ \Rightarrow \cot 53 ° = \frac{3}{4} \end{aligned}

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cesarrafael29
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Todo el contenido esta mu...” de cesarrafael29
Todo el contenido esta muy interesante. Me ha parecido muy bien.
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Alejandro Garcia Castillo
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “Tengo una pregunta porque...” de Alejandro Garcia Castillo
Tengo una pregunta porque el cot 53 es de 3/4 si se supone que con base a la tabla anterior ese valor es de la tan en dado caso seria 4/5 o me equivoco?
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Respuesta
- Rennzo
  Publicado hace hace 15 días. Enlace directo a la publicación “ni la tangente o la cotan...” de Rennzo
  ni la tangente o la cotangente de 53 puede tener a 5, porque la cotante y tangente solo dividen el lado opuesto con adyacente y viceversa (en 53 grados la hipotenusa es 5k)
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60607691
Publicado hace hace 6 meses. Enlace directo a la publicación “ezplicarnos asi en la piz...” de 60607691
ezplicarnos asi en la pizarra ya que en este caso no entendi casi nada
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