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IIT JEE Trigonometría peliaguda y álgebra (parte 1)

2010 Prueba 1 Problema 38 Trigonometría y Algebra Espeluznante. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

se a abc un triángulo tal que el ángulo acb es igual a pi sextos entonces para empezar muy bien este problema vamos a empezar dibujando nuestro triángulo tenemos aquí nuestro triángulo no importa cómo se vea el triángulo realmente solo es para darnos una idea de cómo podemos resolver el problema y tenemos aquí los vértices digamos a b y c y nos dicen que el ángulo acb es decir el que va de a c y luego ve este ángulo mide y sextos y por supuesto estamos hablando en radiales y sextos son 180 entre 6 son 30 grados por si no estás tan familiarizado con los radiales ahora dice de notemos por a b y c a las longitudes de los lados opuestos a b y c respectivamente entonces este es el lado opuesto es este y este es a éste será b y esteras este será c ok y nos preguntan cuál es o cuáles son los valores de x para los cuales se cumplen esta relación muy bien entonces tenemos que relacionar dice con nuestro ángulo pi sextos y para poder hacer eso después tendremos que resolver para x y ver si coincide con uno o varios de estos valores que nos dan ok entonces para relacionar a b y c y un ángulo inmediatamente debe estar saltando en tu cabeza una ley fundamental de la geometría y que es la ley de cosenos verdad la ley de cosenos ley de cosenos y esencialmente lo que nos dice la ley de cosenos es lo siguiente que se cuadrada es cuadrada más b cuadrada menos o que ese es el teorema de pitágoras pero corregido verdad con un -2 ave por el coseno del ángulo c mayúscula muy bien en este caso nuestro ángulo sé que corresponde al alam al ángulo que está digamos en el vértice s éste es de 30 grados ok entonces la ley de de cosenos es un teorema de pitágoras corregido ahora sí que si queremos aplicar la ley de cosenos a nuestro nuestro ejemplo particular pues vamos a sustituirlo aquí tenemos se cuadrada es igual a a cuadrada más b cuadrada menos 2 ave y el coseno de 30 grados con cuál es el coseno de 30 grados a ver vamos a ver si vamos a resolver la prueba digamos del ite pues necesitamos tener todas nuestras herramientas al alcance porque es un examen bastante complicado verdad y además hay un tiempo ahí que puede estar nos presionando entonces tenemos este triángulo si le ponemos este hipotenusa 1 a este 30 grados este es de 90 por supuesto este será de 60 grados lo que sabemos es que el cateto opuesto entre la hipotenusa es el seno y el seno de 30 grados es un medio por lo tanto el coche no tiene que ser raíz de 3 entre 2 para que funcione el teorema de pitágoras verdad entonces el coseno en realidad estamos hablando de el coseno de 30 grados es cateto adyacente entre hipotenusa que es raíz de 3 entre 2 entonces aquí multiplicamos por la raíz de 3 entre 2 y lo que pasa aquí es que los dos se cancelan entonces lo que concluimos es que se cuadrada será igual a cuadrada + b cuadrada menos la raíz de 3 por ave muy bien y esto es ya como estamos relacionando nuestro ángulo de pi sextos con los lados a y b a b y c de hecho ok entonces aquí pues uno podría por ejemplo sustituir a b y c y tratar de resolver para x pero si nos damos cuenta se cuadra bueno a cuadrada ya es un polinomio de orden 4 y le le sumamos un polinomio que sería b cuadrada el cuadrado de esto sería un polinomio de orden 4 también entonces sería como una especie de ecuación de orden 4 entonces eso hizo que en general cuando uno está resolviendo un examen pues un examen occidental recordemos que el ite es un examen para entrar a universidades en india pero al menos en los occidente en los exámenes occidentales que yo he visto cuando uno se complican las operaciones pues significa que algo ya estamos haciendo malo o que el punto es encontrar un truco o la elegancia del problema de cómo resolverlo cuando uno lo encuentra generalmente ya el problema sale casi directo ok pero en este caso en élite hay que no solo hay que hallar un truco hay que hacer muchas cuentas muchas operaciones hay que utilizar todos los trucos posibles que estén a nuestro alcance y digo yo yo nunca presenté el té pero bueno pues a medida que estaba haciendo estos ejercicios me he dado cuenta de que de que son más crueles a la hora de aplicar este examen allá en india que los exámenes tradicionales de occidente y digo yo no crecí en india entonces pero bueno el punto es que estos exámenes tienden a ser un poco más complicados y hay que hallar un truco para resolver el problema muy bien aquí un truco que podemos hacer es tratar de despejar el término ave como le vamos a hacer pues vamos a sumar de ambos lados de la igualdad la raíz de 3 por ave sumamos a y acá también sumamos la raíz de 3 ave ok sumamos eso y para despejar esto vamos a restar se cuadrada de ambos lados vamos a restar se cuadrada de ambos lados muy bien y entonces lo que nos queda es que estos dos se cancelan y estos se cancelan y finalmente me queda me queda la raíz de 3 por ave es igual y vamos a copiar tenemos a cuadrada más be cuadrada - menos se cuadrada menos se cuadrada ok y entonces todavía podemos dividir esto entre ave vivimos de ambos lados entre ave a ambos lados de entre ave y esto nos va a dar una una respuesta una primera aproximación de cómo hacer este problema entonces bueno podría seguir pero ahorita sí quiero ver quién esa cuadrada de cuadrada y se cuadrada porque aquí tenemos que operar los verdad tenemos que operar estas son más de la cuadrada de cuadrada y restarle después se cuadrada después vamos a ir viendo cómo se puede ir resolviendo el problema ok bueno entonces vamos vamos a armarnos de paciencia y ver esto entonces a cuadrada quien es a cuadrada pues es x cuadrada más x más 1 verdad eso era eso era lo que teníamos acá arriba y aquí está y cuadrada bueno aquí está hay que calcular a cuadrada y lo puedo elevar al cuadrado o bien hacer la multiplicación de esto consigo mismo verdad aquí es en donde en la prueba nos están evaluando qué tan sabemos multiplicar polinomios entonces agarramos el 1 y multiplicamos todo esto nos da x cuadrada más x más 1 luego tomamos xy multiplicamos todo esto x por 1 x tenemos x x x x cuadrada x x x cuadrada es x al cubo y ahora x cuadrada multiplica todo esto es x cuadrado por 1 es x cuadrada x cuadrada x xx al cubo y x cuadrada por x cuadrada es x a la 4 entonces al resolver esto que es lo que nos da nos da x a la cuatro más 2 x al cubo más 3 x cuadrada más 2 x más 1 y esto es a cuadrado entonces fue engorroso quizás pero no tan complicado muy bien ahora vamos a ver quiénes ve cuadrada esto es más fácil porque b es x cuadrada menos 1 entonces x cuadrado menos 1 simplemente si lo elevamos al cuadrado usamos la fórmula de el binomio al cuadrado y tenemos x a la 4 - 2x cuadrada más 1 verdad tengo un binomio lo elevamos al cuadrado es el cuadrado de este más el doble de este x este más el segundo al cuadrado y ahora vamos a ver quiénes se cuadrada se cuadrada y vamos a ponerlo digamos con este color aquí esta c entonces se cuadrada simplemente va a ser otra vez utilizando la fórmula de un binomio al cuadrado es 4x al cuadrado dos veces 2x por 1 que es 4x más el cuadrado de 1 que es uno muy bien entonces ya tenemos al cuadrado de cuadrada y se cuadrada entonces si si si queremos resolver esto tenemos la raíz de 3 será igual a y bueno vamos a hacer a cuadrada más de cuadrada menos se cuadrada vamos a hacerlo aquí mismo si sumamos a cuadrada con x a la 4 22 x al cuadrado más 1 y además vamos a sumar 4x cuadrada más 4x no estamos restando verdad entonces aquí son menos 4x y porque estamos restando se cuadrada si restamos este y restamos 1 que es lo que nos da tenemos equis cuarta más x cuarta son 2 voy a ponerlo con azul esto es 2 x a la 4 esto se sigue igual más 2 x al cubo y aquí tenemos 3 x cuadrada menos 6 x cuadrada entonces tenemos menos seis más tres son menos tres x cuadrada aquí tenemos dos x menos 4 x son menos 2x y tenemos dos menos uno y eso es más uno entonces la raíz de tres simplemente la parte de arriba es 2x a la 4 más 2 x al cubo menos 3 x cuadrada menos 2 x + 1 y todo esto va dividido entre a por b a por b que es x cuadrada más x + 1 esto es a luego multiplicamos por ver pero ve era x cuadrada menos 1 verdad entonces hasta aquí no quizás no he logrado mucho por ejemplo si yo pasara el divisor multiplican perdón en el denominador multiplicando a raíz de 3 y luego lo pasara del lado derecho nuevamente tendría un un polinomio de orden 4 que tengo que resolver es una ecuación de orden 4 y eso es muy complicado pero la forma en cómo lo escribimos ahorita me da mucha mucha sensación mucho sabor mucha esperanza de que podemos factorizar lo de arriba y eso es porque tenemos coeficientes enteros verdad 2 2 - 3 - 2 1 entonces eso me da mucha esperanza de que podamos factorizar y si hay factores comunes en el numerador y en el denominador entonces podemos reducir la complejidad del problema al cancelar los verdad ahí lo voy a dejar para no hacer un vídeo tan largo y en el siguiente vamos a tratar de factorizar en la parte de arriba para resolver esta ecuación en x