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IIT JEE Trigonometría peliaguda y álgebra (parte 3)

2010 IIT JEE Prueba 1 #38 Trigonometría espeluznante y Álgebra (Parte 3). Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

y pues no sé ustedes pero yo estoy esperando con ansias el final de este problema y supongo que ustedes estarán igual que yo y realmente estamos en la recta final simplemente tenemos que simplificar esta expresión en rosa que obtuvimos en el último vídeo para obtener los posibles valores de x así que vamos a simplificar primero el radical es decir todo lo que está dentro de nuestra raíz cuadrada y empecemos con este término tenemos la raíz de tres menos dos al cuadrado y si elevamos al cuadrado es el cuadrado del primero que es tres verdad el cuadrado de la raíz cuadrada pues es como no haberle hecho nada verdad dogmas dos veces el producto de ellos que es 2 x menos 2 es menos 4 x raíz de 3 es menos 4 raíz de 3 y luego sumarle el cuadrado de 2 que es 4 más 4 muy bien y luego restamos 4 y hay que efectuar este producto verdad de este con este así que vamos a multiplicar y tenemos raíz de 3 x raíz de 3 3 verdad luego a raíz de 3 x 1 es raíz de 3 menos dos por la raíz de tres es menos dos veces la raíz de tres y menos dos por uno es menos 2 muy bien vamos a seguir simplificando este problema de verdad nos está causando problemas valga la redundancia pero bueno tenemos tres más cuatro son siete verdad éste y éste y le restamos cuatro raíz de tres y luego menos cuatro por tres es menos 12 menos 4 por raíz de 3 es ok hagamos algo antes mejor si nosotros simplificamos aquí tenemos 3 y menos 2 estos 2 nos dan un 1 y luego tenemos raíz de 3 menos dos veces la raíz de 3 esto me da menos la raíz de 3 así que si yo hago la multiplicación menos 4 por 1 es menos 4 y menos 4 por menos la raíz de 3 es más cuatro veces la raíz de 3 y gracias a dios ahora si ya tenemos algo que se puede cancelar al fin y que nos simplifica un poco la vida y de hecho nos queda 7 menos 4 y esto solo es un 3 muy bien entonces vamos a ver tenemos que nuestros valores x pueden ser 22 menos la raíz de 3 es verdad bueno nuestros x son dos menos la raíz de tres más o menos lo que estaba dentro de la raíz que simplemente fue 3 entonces tenemos la raíz de 3 ya de abajo multiplicamos esto y nos queda dos veces la raíz de 3 y 2 x menos 2 es menos 4 muy bien entonces tenemos dos posibles respuestas la primera digamos que pasa si tomamos el más si tomamos el más tenemos dos menos raíz de tres más raíz de tres sólo nos da 12 y lo dividimos entre dos veces la raíz de 3 menos 4 que de hecho como hay un factor 2 tanto arriba como abajo lo podemos dividir arriba y abajo entre 2 y nos queda 1 entre la raíz de 3 menos 2 muy bien y pues ahora lo que podemos intentar hacer es racionalizar el el resultado es decir multiplicamos por el conjugado de este que no es otra cosa más que cambiarle el signo verdad de esta forma tenemos una diferencia de cuadra bueno vamos a tener una diferencia de cuadrados ahora para que esto no se altere de dvd a ver lo mismo abajo que arriba y entonces arriba nos queda uno por raíz de tres más dos es raíz de tres más dos y abajo tengo binomios conjugados y esto nos da el cuadrado del primero que es 3 y le restamos el cuadrado del segundo que es 2 al cuadrado es 4 entonces 3 menos 4 es menos 1 y simplemente nos queda menos la raíz de tres más 2 muy bien entonces ya al fin tenemos nuestra primera respuesta vamos a ver qué pasa con la otra qué pasa con la otra la otra sería y dos menos raíz de tres menos raíz de tres ahí tendríamos dos menos dos veces la raíz de tres entre dos veces la raíz de tres menos cuatro si quieren déjenme ponerlo al revés menos cuatro más dos veces la raíz de tres muy bien y esto como lo podemos hacer podemos dividir entre dos también arriba y abajo verdad todo es divisible entre dos y nos queda uno menos la raíz de tres entre menos dos más la raíz de tres y nuevamente vamos a racionalizar el problema vamos a multiplicar por menos dos menos la raíz de tres muy bien y entonces que es lo que nos queda bueno ok abajo es más fácil ahora sería menos 2 al cuadrado que es 4 menos la raíz de 3 al cuadrado que es menos 3 lo que sea que eso sea va a ser 1 verdad 1 en el denominador ahora vamos a hacer estas operaciones 1 x menos 2 sería menos 21 por menos raíz de tres menos la raíz de tres menos raíz de tres por menos dos es más dos veces la raíz de tres y menos raíz de tres por menos raíz de tres son tres muy bien y tenemos tres menos dos y es 1 y 2 raíz de tres menos raíz de 3 es simplemente la raíz de 3 y esto ya es nuestra segunda solución y no sé ustedes pero esto yo creo que es muy emocionante esto fue un problema increíblemente enredado muy bien entonces podemos concluir perfectamente quiénes son en nuestras soluciones están dadas de la siguiente forma x puede ser menos 2 más la raíz de 3 que corresponde a este caso o también puede ser el 1 más la raíz de 3 que es este otro caso verdad así que vámonos arriba para revisar nuestras respuestas posibles y en principio 1 pues podría estar bien tentado a decir ah mira aquí está nuestra respuesta y nuestra respuesta ve y nos dicen que allí pueden ser varios valores de x los que pueden ser ciertos pero todavía no hemos terminado y hay que tener mucho cuidado ya que también recordar el contexto por ejemplo el valor a no funciona porque porque estamos hablando de medidas de un triángulo verdad longitudes de sus segmentos y nos dicen que dos por este valor x más uno es el lado c eso quiere decir que sea al menos debe ser positivo muy bien y si nosotros multiplicamos esto por 2 aquí tendrían raíz de 3 es 1 punto y cachito entonces tendríamos 2 más 1 punto y cachito es 3 punto y cachito con menos y al multiplicarlo por 2 sería menos 6 punto de cachito que al sumarle 1 es menos 5 punto cachito y es negativo ese es el punto entonces esta solución la a no es válida porque no tiene sentido en el problema la única respuesta correcta es la b es la b así que bueno este fue un problema bastante bastante enredado no fue nada fuera del otro mundo no fue algo que necesitábamos una idea genial simplemente necesitábamos mucho orden y muchas herramientas de álgebra de polinomios y demás en fin si alguien sabe una forma más rápida de hacerlo hágamelo saber