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Transcripción del video

un triángulo abc es un triángulo rectángulo tal que hace es igual a 7 veces igual a 24 y tal que el ángulo en ce es recto así que como se ve este triángulo vamos a hacer un dibujo por acá digamos que ese es el lado b c vamos a decir que este es el lado sea y entonces esto sería el lado a b perfecto entonces estoy aquí es b esto de aquí es b esto de aquí ese y estoy aquí esa de manera que este es un ángulo recto hace o sea mide 7 ibc 1024 24 ok luego el punto medio de abs m y de es el punto que está en el mismo lado de ave que se y que satisface que ade es igual a b d es igual a 15 así que para empezar m es el punto medio del lado ave por aquí tendría m entonces esta distancia bm es igual a la distancia a m estas dos son iguales y luego me dicen que d es el punto que está a 15 unidades de veía 15 unidades de a del mismo lado que se la recta a b divide al plano en dos regiones digamos este lado y este otro lado entonces el hecho de que el punto de este del mismo lado que se simplemente me dice que el punto d está digamos por aquí de hecho todos los puntos que quitan de a&b están sobre una recta que es perpendicular a ave y que pasa por m entonces vamos a poner el punto d por aquí y de modo que de modo que esta distancia vale 15 y esta distancia vale 15 decirme lo noto esto es d esto valió 15 y esto valió 15 perfecto entonces el área del triángulo cdm cuál es el triángulo cdm pues es cuál es el triángulo cdm pues es este triángulo de aquí este triángulo que estoy poniendo en verde este es el triángulo cdm entonces el área de este triángulo puede ser expresada como m por raíz de entre p donde m n&p son enteros positivos tales que m son primos relativos y en el no es divisible por el cuadrado de ningún primo eso sólo quiere decir que esta expresión está simplificada lo más posible así que voy a tener que buscar el área de este triángulo que estoy rellenando con verde ok encuentra m + n p eso es lo que nos pide el problema bien ahora qué pasa si yo introduzco coordenadas digamos tomo mi eje x como la línea sea entonces se extendía hacia allá esta es mi dirección x y mi dirección sería la línea se ve que se extiende hacia allá este es mi eje y entonces las coordenadas de a si pongo el origen en c digamos puedo decir que ese es el punto cero cero entonces a es el punto 70 porque está en el eje x y además estas siete unidades del origen el punto b 30 tendría coordenadas 0,24 y el punto m que es el punto medio de ahí ve simplemente tendría como coordenadas al promedio de las coordenadas de ahí ver el promedio de 70 sería 7 medios y el promedio de 24 y 0 sería 12 muy bien veamos que podemos hacer con esto pues el triángulo abc por hipótesis es un triángulo rectángulo así que lo primero que se me ocurre es usar el teorema de pitágoras para encontrar el lado ave yo sé que 24 al cuadrado 24 al cuadrado más 7 al cuadrado tiene que ser igual a la distancia de ave al cuadrado pero 24 al cuadrado es 576 576 7 al cuadrado es 49 esto es lo mismo que ave al cuadrado 576 +49 576 más 50 es 626 menos 1 para llegar a 49 sería 500 625 perdón 625 es ave al cuadrado de modo que ave tiene que ser igual a 25 o dicho de otro modo esta instancia la debe a m es 25 medios que es el punto medio de ave y esta distancia de a m es 25 medios también ahora otra cosa que podemos notar es que el triángulo amc el triángulo amc es un triángulo isósceles de hecho si nosotros dejáramos caer aquí una perpendicular llegaríamos al punto medio del segmento hace eso nos dice que es un triángulo isósceles entonces este lado el lado gm y este lado también va a valer 25 medios así que esto también vale 25 medios ahora ya que tenemos eso podemos encontrar cuánto vale la longitud del lado de m pues como decía el punto de esta sobre una recta que es perpendicular a la recta a ver todos los puntos que aquí están del punto b y el punto a están sobre esa recta así que si lo que quiero es encontrar esta longitud pues recuerden que este ángulo efecto y apliquemos el teorema de pitágoras al triángulo de m entonces por pitágoras yo sé que 25 medios al cuadrado 25 medios al cuadrado que sería la longitud es de este cateto más de m al cuadrado más de m al cuadrado es igual a 15 al cuadrado que es 225 así que qué tengo de aquí pues tengo que de m al cuadrado es igual a voy a escribir a 225 con denominador 4 225 por 4 es 900 así que 225 es lo mismo que 900 cuartos menos 25 entre 2 al cuadrado 25 al cuadrado en 625 entre 4 y esto cuánto es 900 menos 625 sería lo mismo que 275 entre 4 de modo que la longitud de m va a ser igual a la raíz cuadrada de 275 entre 4 ahora 275 es lo mismo que 25 por 11 todo esto dividido entre 4 y esto se simplifica a 5 por raíz de 11 entre 2 de modo que esta longitud la longitud de m me lo escribo acá 5 x raíz de 11 entre 2 de modo que para encontrar el área del triángulo verde lo único que tengo que hacer es encontrar el valor de esta altura aquí bueno antes que nada una pequeña advertencia a pesar de que parece que esta altura que dibuje está sobre la línea de realmente s no tiene por qué ser el caso pero bueno entonces si yo quiero encontrar esta altura donde este ángulo sería recto entonces lo que tengo que hacer es encontrar este ángulo si yo encuentro cuánto vale ese ángulo del indec me lo llamo theta entonces puedo calcular esta altura a partir del lado de m y el seno de theta entonces como podría encontrar ese valor de ese ángulo theta pues quizás podría aplicar algo así como la ley de cosenos aunque en este triángulo en el triángulo de mc me falta el lado de c pero podría fijarme en el triángulo de c m si me fijo en el triángulo bsm me lo voy a copiar por acá un poco afuera aquí tengo al lado de ce ese este sería el lado c m y esto sería el lado mb bueno quizás se ve un poco un poco feo pero no importa entonces en este triángulo este ángulo este ángulo sería este ángulo de acá que vale teta más 90 grados este ángulo equivale teta más 90 grados porque este ángulo vale teta y acá tenía un ángulo recto este lado vale 25 medios 25 medios este lado también vale 25 medios digamos esto sm esto es b y esto s esto también vale 25 medios y esta longitud vale 24 así que a partir de la ley de cosenos yo creo que puedo encontrar el ángulo theta bien la ley de cosenos para el triángulo bsm me dice que el lado opuesto al ángulo al cuadrado o sea 24 al cuadrado que es 576 576 debe ser igual a la suma de los cuadrados de los lados adyacentes al ángulo que sería el primero vale 25 entre 2 eso al cuadrado más el segundo al cuadrado que sería otro 25 entre 2 al cuadrado menos 2 veces el producto de los lados adyacentes al ángulo que sería 25 entre 2 por 25 entre 2 por el coche no me recorro tantito por el coseno de el ángulo que en este caso vale teta más 90 grados y eso tiene que dar 576 ahora bien nosotros sabemos que el coseno de x el coseno de un ángulo x siempre va a ser igual a el seno de 90 grados menos x pero si yo sustituyó x igual a teta más 90 grados entonces obtengo que el coche no detecta más 90 grados de teta más 90 grados es igual a el seno de recorro aún más el seno de 90 grados menos theta menos 90 grados pero eso sencillamente es el seno de menos theta que sabemos que es menos seno de teta así que puedo cambiar este coseno detecta más 90 grados x - seno de teta de modo que esta expresión se convierte en 576 es igual a 25 entre 2 al cuadrado más 25 entre 2 al cuadrado sería dos veces 25 entre 2 al cuadrado menos 2 veces 25 entre 2 al cuadrado de nuevo por menos el seno de theta el menos lo podría traer aquí al frente y convertir este menos en un más ventas por menos es más y aquí simplemente dejar seno de teta ahora bien esta expresión se traduce a que 576 es igual a 2 por 25 entre 2 al cuadrado voy a factorizar esto por uno más el seno de teta y ya que tengo en este la expresión escrita en este modo podría simplificarlo un poco y escribirla como 576 es igual a 25 al cuadrado en 625 2 al cuadrado es 4 un 4 el denominador se cancela cuando este 212 del denominador se cancela con este 2 y obtengo 625 entre 2 por uno más el seno de teta o dicho de otro modo si multiplico todo por 2 entre 625 tengo 576 por 2 entre 625 es igual a esto se cancela y me queda uno más el seno de teta de dónde déjenme mejor lo escribo un poco más abajo de donde el seno de teta va a ser igual 576 por 23 mil 152 menos este 11 con denominador 625 sería 625 así que todo esto entre 625 y esto cuánto es pues vaya tendré que hacer unas cuentas rápidas aquí 1.152 menos 625 cuánto es en 5 le presta 1 al 2 se convierte en 12 stores un 4 12 menos cinco es 74 menos 22 11 menos 65 así que el seno de teta valdría 527 527 entre 625 y realmente con esto ya casi terminamos el problema aunque no se den cuenta déjenme copiar me copiar el triángulo cdm por acá abajo este es el lado cd este es el lado de m y este es el lado c m algo así se ve el triángulo les pongo nombres espera se espera de esta hora m ahora bien nosotros ya sabemos que la longitud de m es 5 x raíz de 11 entre 25 x raíz de 11 entre 2 y también sabemos lo acabamos de encontrar que el seno de este ángulo el seno este ángulo theta satisface que el seno de teta seno beteta es igual a 527 / 625 y además nosotros también sabemos que la 12 m que aquí se ve un cacho el lado c m vale 25 entre 225 entre 2 así que bien si junto a toda esta información yo puedo calcular cuánto vale esta altura puedo calcular cuánto vale esta altura de aquí h porque el seno de teta es igual a h entre la hipotenusa que cinco por raíz de 11 entre 2 y esto se convierte en h entre 5 por raíz de 11 entre 2 pero cuánto vale eso pues y multiplicó todo esta ecuación por 5 por reid de 11 entre 2 obtengo que que h es igual a 527 entre 625 por 5 por raíz de 11 entre 2 este 5 cancela a este 625 y lo convierte en un 125 y esto se convierte en 527 por raíz de 11 entre 2 por 125 que es 250 y ahora el área de un triángulo recordemos es un medio de la base que en este caso vale 25 medios 25 medios la base del triángulo es el la 12 m por la altura que vale 527 x raíz de 11 entre 250 y cuánto vale esto pues 25 se cancela a un factor acá y aquí nos quedaría simplemente 10 y esto es lo mismo que 527 por raíz de 11 dividido entre dos por dos es 4 por 10 es 40 ahora noten que 527 y 40 son primos relativos y que 11 no es divisible por ningún cuadrado de primo de modo que esta es la expresión que nos pedían hallar esta es la expresión en la forma m por raíz de n entre p así que sólo tenemos que hallar cuánto vale m más n p en otras palabras cuánto vale 527 + 11 40 527 más 11 sería 538 más 40 sería 578 y ya acabamos