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Transcripción del video

triángulo abc es un triángulo rectángulo tal que hace es igual a 7 veces es igual a 24 y tal que el ángulo ence efecto así que como se ve es el triángulo vamos a hacer un dibujo por acá digamos que es el lado b c a decir que este es el lado sea y entonces esto sería la do ave perfecto entonces estoy aquí es ve esto de aquí es b estoy aquí ese y estoy aquí esa de manera que éste es un ángulo recto hace o sea mide 7 y b se mide 24 24 ok luego el punto medio de abs me i d es el punto que está en el mismo lado de ave que se y que satisface que ade es igual a b d es igual a 15 así que para empezar m es el punto medio de la do ave aquí tendría m entonces esta instancia bm es igual a la distancia a m estas dos son iguales y luego me dicen que de es el punto que está a 15 unidades de veía 15 unidades de a del mismo lado que se la recta ave divide al plano en dos regiones digamos este lado y este otro lado entonces el hecho de que el punto de estar del mismo lado que se simplemente me dice que el punto de esta digamos por aquí de hecho todos los puntos que están de a y b están sobre una recta que es perpendicular a b y que pasa por m entonces vamos a poner puntos de por aquí y de modo que de modo que esta instancia vale 15 y esta distancia vale 15 m lo notó esto es de esto valió 15 y esto valió 15 perfecto entonces el área del triángulo cdm cuales el triángulo cdm pues cuál es el triángulo dm pues este triángulo de aquí este triángulo que estoy poniendo en verde este es el triángulo cdm entonces el área de ese triángulo puede ser expresada como m por raíz de / p dónde m m y pp son entre los positivos tales que m&p son primos relativos y en él no es divisible por el cuadrado en ningún primo es sólo quiere decir que esta expresión está simplificada lo más posible así que voy a tener que buscar el área de este triángulo que estoy rellenando con verde ok encuentra m más m más p eso es lo que nos pide el problema bien ahora qué pasa si yo introduzco coordenadas digamos tomomi x como la línea sea entonces se extendería hacia esa dirección x y mi dirección yesería la línea se ve se extiende hacia ya está en méxico entonces las coordenadas de a si pongo el origen en se digamos puede decir que ese es el punto cero coma cero entonces a es el punto 7,0 porque está en el eje x y además está a siete unidades del origen el punto b tren de tendría coordenadas 0,24 y el punto m que es el punto medio de ahí ve simplemente tendría como coordenadas al promedio de las coordenadas de ahí ver el promedio de 70 sería siete medios y el promedio de 24 hice no sería 12 muy bien veamos qué podemos hacer con esto pues el triángulo abc por hipótesis es un triángulo rectángulo así que lo primero que se me ocurre es usar el teorema de pitágoras para encontrar el lado ave yo sé que 24 al cuadrado y cuatro al cuadrado +7 al cuadrado tiene que ser igual a la distancia de ave al cuadrado pero 24 cuadrado es 576 576 seattle cuadrado es 49 esto es lo mismo que ave al cuadrado 576 +49 576,50 es 626 menos uno para llegar a 49 sería línea en 625 perdón 625 es ave al cuadrado de modo que ave tiene que ser igual a 25 o dicho de otro modo esta instancia la de bea m es 25 medios egm es el punto medio de ave y esta instancia de a m 25 medios también ahora otra cosa que podemos notar es que el triángulo a ms el triángulo amc es un triángulo isósceles de hecho si nosotros dejamos caer aquí una perpendicular llegaríamos al punto medio del segmento hace eso nos dice que es un triángulo isósceles entonces este lado el lado c m este lado también va a valer 25 medios así que esto también vale 25 medios ahora ya que tenemos eso podemos encontrar cuánto vale la longitud del lado de m pues como decía el punto de que está sobre una recta que es perpendicular a la recta ave todos los puntos que quitando el punto b y el punto a están sobre esa recta así que si lo que quiere es encontrar esta longitud pues recuerden que este ángulo recto y apliquemos el teorema de pitágoras al triángulo de m&a entonces por pitágoras 12 que 25 medios al cuadrado 25 medios al cuadrado que sería en la longitud es de este cateto más dm al cuadrado más de m al cuadrado es igual a 15 al cuadrado que es 225 así que que tengo de aquí pues tengo que de m al cuadrado es igual a voy a escribir a 225 con denominador 4 225 por 42 900 así que 225 es lo mismo 900 cuartos menos 25 entre dos al cuadrado 25 al cuadrado es 625 entre 4 y esto cuántos 900 menos 625 sería lo mismo que 275 entre cuatro de modo que la longitud de m va a ser igual a la raíz cuadrada de 275 entre cuatro horas 275 es lo mismo que 25 por 11 todo eso dividido entre 4 y esto se simplifica a 5 por raíz de 11 entre dos de modo que esta longitud de longitud de m escribo a cam es 5 por raíces de 11 entre dos de modo que para encontrar el área del triángulo verde lo único que tengo que hacer es encontrar el valor de esta altura aquí bueno antes que nada una pequeña advertencia a pesar de que parece que esta altura que dibuje está sobre la línea a de realmente ése no tiene por qué ser el caso pero bueno entonces si yo quiero encontrar esta altuna donde este ángulo sería recto entonces lo que tengo que hacer es encontrar este ángulo si yo encuentro cuánto vale ese ángulo de allí me llamó teta entonces puedo calcular esta altura a partir del lado de m y el seno de eta entonces cómo podría encontrar ese valor de ese ángulo teta pues quizás podría aplicar algo así como ley de cosenos aunque en este triángulo en el triángulo de ms me falta el lado de ese pero podría fijarme en el triángulo b se m si me fijo en el triángulo bcm me lo voy a copiar por acá un poco afuera aquí tengo al lado b c efe esto sería lado se m y ha señalado m bueno quizás se ve un poco un poco feo pero no importa entonces en este triángulo este ángulo este ángulo sería este ángulo de acá que vale te está más 90 grados este año lo equivalente está más 90 grados porque este ángulo ballet eta y acá tenía un ángulo recto este lado vale 25 medios 25 medios este lado también vale 25 medios digamos esto se me estuve y estoy sé esto también vale 25 medios y esta longitud vale 24 así que a partir de la ley de kossen hoy yo creo que puede encontrar el ángulo te está bien la ley de consejos para el triángulo bcm dice que el lado opuesto al ángulo al cuadrado o sea 24 al cuadrado que es 576 576 debe ser igual a la suma de los cuadrados de los lados adyacentes al ángulo que sería el primero vale 25 entre dos eso al cuadrado más el segundo al cuadrado que sería otro 25 entre dos al cuadrado menos dos veces el producto de los lados adyacentes al ángulo que sería 25 entre dos por 25 entre dos por el coce no me recorro tantito por el coce no de el ángulo que en este caso vale te está más 90 grados y eso tiene que dar 576 ahora bien nosotros sabemos que el coche no dx el coce no de un ángulo x siempre va a ser igual a el seno de 90 grados - x pero si yo sustituyó x igual a eta más 90 grados entonces obtengo que el coce no detectan más 90 grados de eta más 90 grados es igual a el seno de récord aún más el seno de 90 grados menos te está menos 90 grados pero eso sencillamente es el seno de menos z que sabemos que es menos seno de eta así que puedo cambiar este coche no detectan más 90 grados por menos seno de eta de modo que esta expresión se convierte en 576 es igual a 25 entre 2 al cuadro más 25 entre ellos al cuadrado sería dos veces 25 entre dos al cuadrado menos dos veces 25 entre dos al cuadrado de nuevo por - el seno de teta el menos lo podría traer aquí al frente y convertir este - en un más o menos por menos es más y aquí simplemente dejar seno de eta ahora bien esta expresión se traduce a que 576 es igual a 2 por 25 entre dos al cuadrado voy a factorizar esto por uno más el seno de eta y ya que tengo en este la expresión escrita en este modo podría significarle un poco y escribirla como 576 es igual a 25 al cuadrado el 625 2 al cuadro es 414 el denominador se cancela cuando éste dos mundos el denominador se cancela con este 2 y obtengo 625 entre dos por uno más el seno de eta o dicho de otro modo se multiplicó todo por dos entre 625 tengo 576 por dos entre 625 es igual a ésta se cancela y me queda uno más el seno de teta de dónde me mejor lo escribo un poco más abajo donde el seno de eta va a ser igual a 576 por 23 mil 152 menos este 11 con denominador 625 sería 625 así que todo esto entre 625 y esto cuánto es pues vaya tendré que hacer unas cuantas rápidos aquí mil 152 menos 625 cuánto es el 5 le presta 1 al 2 se convierte en 12 esto es un 4 12 menos 574 menos 22 11 - 65 así que el seno de eta valdría 527 527 entre 625 y realmente con esto ya casi terminamos el problema aunque no se den cuenta de que me copiar o no copiar el triángulo cdm por acá abajo este es el lado se dé traslado de m y este es el lado ccm algo así se ve el ángulo les pongo nombres espera se espera de y hasta ahora m ahora bien nosotros ya sabemos que la longitud de m 35 por raíces de 11 entre 25 por raíz de 11 entre 2 y también sabemos que acabamos de encontrar que el seno de este ángulo ángulo teta satisface que el seno de eta y eta es igual a 527 entre 625 y además nosotros también sabemos que la 12m que aquí se ven cacho el lado c m vale 25 entre dos 25 entre dos así que bien y junto toda esta información yo puedo calcular cuánto vale esta altura por calcular cuánto vale esta altura de aquí h porque el seno de eta es igual a h entre la hipotenusa que cinco por reid de 11 entre dos y esto se convierte en h / 5 por raíz de 11 entre dos pero cuánto vale eso pues se multiplicó todo esta ecuación por 5 x ray y 11 entre dos obtengo que h es igual a 527 entre 625 por cinco por raíz de 11 entre dos estos cinco cancela a este 625 y lo convierte en un 125 y esto se convierte en 527 por raíz de 11 entre 2 por ciento veinticinco que 250 y ahora el área de un triángulo recordemos es un medio de la base que en este caso vale 25 medios 25 medios la base del triángulo es el a 12m por la altura que vale 527 por raíz de 11 entre 250 y cuánto vale esto pues 25 se canse cancela a un factor acá y aquí nos quedaría simplemente 10 y esto es lo mismo que 527 por raíz de 11 dividido entre dos por 264 por 10 40 hora noten que 527 40 son primos relativos y que once no es divisible por ningún cuadro de primo de modo que ésta es la expresión que nos pedían hallar esta es la expresión en la forma m por raíz de n / p así que sólo tenemos que hallar cuánto vale m más en más p en otras palabras cuánto vale 527 +11 +40 527 +11 sería 538 más 40 sería 578 y acabamos