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Problema trigonométrico de desafío: restricciones múltiples

Sal resuelve un problema algebraico de trigonometría muy complejo, que apareció como el problema 47 en el examen 2010 IIT JEE Paper I. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

vamos a resolver el siguiente problema dice el número de valores de teta en el intervalo menos pi medios y medios o que este es un intervalo abierto es decir no estamos incluyendo los extremos que son justamente menos pi medios y medios dice entonces el número de valores de teta en este intervalo tales que teta no es un múltiplo entero de pi entre 5 es decir no es n entre 5 pero nos dicen para está sen es 0 más o menos uno más o menos 2 y además debe cumplir que la tangente de teta es el laco tangente de 5 teta así como también seno de 2 teta igual a coseno de 4 teta aunque entonces nos piden el número de valores de teta esas cuál es el número de valores de eta que cumplen todo eso y para las personas que me conocen saben que me gusta recrear los aspectos necesarios para resolver el problema y recrear los aspectos teóricos los aspectos geométricos pero si estás la supresión de un examen no te lo recomiendo verdad no tiene sentido que deduzca nuevamente las identidades trigonométricas esto solo es para fines educativos pero si estás presentando el kit pues definitivamente deberías tener ya muy bien manejado si bien memorizadas las identidades trigonométricas pero bueno como ahorita estamos en un vídeo educativo vamos vamos a hacerlo digamos tenemos aquí webs tenemos aquí nuestro triángulo rectángulo más o menos derechito está muy bien tenemos un triángulo rectángulo y digamos que este ángulo éste está muy bien este por ser un triángulo rectángulo es un ángulo de pi medios o de 90 grados entonces este de aquí necesariamente tiene que medir pi medios menos teta verdad de tal suerte que a la hora de sumar todos nos dé 180 grados que es lo mismo que piden radiales muy bien entonces ya que tenemos esto nos preguntamos por ejemplo por el coseno el co seno de nuestro ángulo teta el co seno de nuestro ángulo teta y para eso hay que hay que utilizar por ejemplo estas estas cosas mnemotécnicas que tenemos para recordar verdad tenemos el sol acá toda la verdad esto es seno coseno y tangente oeste opuesto adyacente hd hipotenusa entonces el coseno que es el de aquí es adyacente entre hipotenusa si por ejemplo a éste le llamamos a b ya este ese entonces para este ángulo quien sería el el cateto adyacente pues sería este de aquí verdad el b y la hipotenusa sería c entonces tenemos b / c pero fíjense muy bien fíjense muy bien que ven 13 si ahora nos fijamos en este ángulo es el opuesto entre hipotenusa y eso el opuesto entre hipotenusa es el seno entonces tenemos seno de este ángulo de aquí que es y medios menos t está muy bien entonces de entrada tenemos esta igualdad esta igualdad se da simplemente de ver cómo están definidas las funciones trigonométricas en este triángulo rectángulo muy bien lo mismo podríamos pensar por ejemplo para él de este ángulo el seno de este ángulo es el opuesto entre hipotenusa entonces sería a entre la hipotenusa que es ce que también es lo mismo que el coseno de medios menos teta verdad nos fijamos en este y queremos ver cómo es en 13 pues a es el adyacente respecto a este ángulo a este ángulo de aquí entonces sería el coseno muy bien perfecto entonces también podríamos hacer el análisis de la otan gente y realmente porque queremos pues porque aquí nos están relacionando la tangente con la co tangente muy bien entonces por ejemplo ya aterrizando lo en este tipo de cuentas por ejemplo tenemos con tangente de 5 teta pues esto por definición es uno entre la tangente la tangente es seno entre coseno y como es el recíproco entonces va a ser coseno de 5 teta entre de 5 t está muy bien entonces no tenemos que lo mismo da por ejemplo cómo tenemos que el coche no de cualquier ángulo es el seno de pi medios menos ese ángulo aquí podemos poner seno de medios menos 5 teta entre y aquí el pse no lo podemos expresar como un coche en la verdad coseno de pi medios menos 5 te está muy bien pero ahora fijémonos muy bien en esta fórmula es seno de un ángulo entre coseno de ese ángulo esto simplemente es la tangente de pi medios menos 5 teta y tú dirás bueno y para qué estás haciendo todo esto y realmente lo estoy haciendo porque la otan gente la queremos relacionar con la tangente muy bien al menos de esta forma sin embargo hay que notar lo siguiente déjenme hacer un dibujo para recordar qué es lo que nos está diciendo la tangente ok éste fue un círculo muy feo mucho mejor pongamos nuestros ejes ahí están más o menos no importa que esté hecho eco nos fijamos en un ángulo theta y nos fijamos en la línea que se genera a partir de ese ángulo theta la tangente la tangente si recordamos es que no entre coseno que esencialmente es la pendiente de esta recta entonces fíjate muy bien tienes este theta y si nosotros le sumamos y es decir ahora nos consideramos este ángulo entonces tenemos que está más pi que está más pi de está más y representa la misma recta verdad cuando cuando generamos la línea representa la misma recta y por lo tanto tiene la misma la misma pendiente entonces realmente si nosotros le sumamos múltiplos de pi a esto no cambia verdad entonces esto nos va a servir para encontrar todos los valores posibles como pues porque además le podemos ir sumando pi le podemos volver a sumar pinos da ya esto otra pi y así sucesivamente y representa esencialmente la misma línea muy bien entonces ahora sí vamos a ir aterrizando todo esto en nuestro problema porque esencialmente tenemos tangente resolver esto tangente de teta es igual a la otan gente de cinco teta pero realmente no quiero ponerla con tangente de cinco teta yo ya sé que la cota agente de 53 está tangente entonces voy a quitarlo y voy a poner tangente de pi medios menos 5 teta más múltiplos de pi np n por supuesto es un número entero muy bien entonces fíjate muy bien tenemos tangente de algo igual a la tangente de otra cosa pues simplemente esas cosas tienen que ser iguales así que tomamos teta iguala y medios menos 5 teta más np muy bien y entonces ya nuestro problema es de encontrar para cuáles tetas esto se vale sumamos 5 teta de ambos lados y nos quedan acá una y 5 son 6 teta igual a pi medios como sumamos 5 t3 eso se cancela y nos queda sumar n p muy bien y ahora para despejar teta dividimos todo en 36 de ambos lados y nos queda teta igual a pi medios entre 6 son de entre 12 + n sobre 6 y ya para para poder expresar esto de forma más agradable sacamos un denominador común que es 12 entonces tenemos pi sobre 12 más aquí sería 2 n p / 12 verdad simplemente dividimos arriba y abajo entre 2 y nos queda en ep / 6 que es esto entonces ya tenemos pido sea pido seamos más 2n pi doceavos aquí podremos tener una p más 12 n p es 2 n 1 que multiplica api sobre 12 muy bien y entonces theta tiene esta forma donde la n puede variar en los enteros muy bien tenemos otra ecuación tenemos por acá otra ecuación y tenemos seno de 2 te da igual a coseno de 4 teta vamos a escribirlo seno seno de 230 es igual a coseno de 4 teta pero ahora voy a utilizar esta fórmula porque el coste no de un ángulo es senodep y medios menos ese ángulo entonces coseno de 4 t está será seno de pi medios menos 4 teta y además como las funciones en icod seno son periódicas y de periodos dos pi le puedo sumar múltiplos de dos pi para que esto siga siendo igual déjenme ponerlo así para que sea más claro son dos pi y múltiplos es multiplicarlo por un n donde n s entero muy bien entonces qué es lo que tenemos tenemos el seno de dos teta es este seno y por lo tanto podemos decir que este ángulo de aquí y este de acá son el son el mismo entonces dos teta es igual a medios menos cuatro teta + 2 p m muy bien entonces si sumamos ahora 4 teta de ambos lados vamos a sumar teta de ambos lados 4 teta perdón entonces dos tetas más cuatro tetas son seis teta igual a pi medios más 2n muy bien si porque sumamos cuatro teta y esto se cancela ahora bien dividimos todo en 36 dividimos de ambos lados en 36 y nos queda t t igual a pie entre 12 más 2 viene pero pm2 viene entre 6 es lo mismo que tiene entre 3 y ahora sacamos un denominador común que en este caso puede ser 12 12 entre 2 es una por espn + 12 entre 34 x tiene son cuatro pi ok y si factor izamos lápiz tenemos 4 n 1 por pi sobre 12 sobre 12 muy bien entonces ya tenemos otra relación tenemos esta primera docena más un pie entre 12 y tenemos esta 4 n entre 12 estos dos tetas entonces vamos a fijarnos porque además no podemos elegir cualquiera recordemos que no nos podemos salir del intervalo menos y medios y medios así que vamos a ver qué pasa por ejemplo qué pasa tienes cero tiene cero nos queda uno por pi entre 12 que son y entre 12 tiene es uno tenemos dos por uno son dos más uno son 33 pi entre 12 tenemos 3 pi entre 12 si tenés dos tendremos dos por 24 15 tenemos 5 pi entre 12 ahora fíjate muy bien que si tomamos en e igual a 3 nos queda dos por tres son seis más unas 77 pi doceavos que eso pasa a 6 pide osea bosques y medios y no no debíamos de pasarnos de ahí entonces para n igual a 3 ya no aplica para n igual a 3 serían 7 p 12 a vos pero esto esto de aquí es más grande que un medio entonces eso ya no nos conviene tomarlo ya no nos conviene tomarlo pero podemos tomarnos en es negativa recordemos que n es un número entero entonces por ejemplo si nos tomamos en e igual a menos uno tendremos menos dos más uno son - 1 y 12 a 2 si por ejemplo nos tomamos menos 2 tendremos 2 x menos 2 o menos 4 + 1 - 3 12 a vos que también queda bien si tomamos n igual a menos 3 tendremos 2 x menos 3 son menos seis más uno menos cinco y doce a vos y nuevamente ya no nos podemos tomar uno más grande porque nos salimos de nuestro intervalo muy bien ahora fijémonos cuales coinciden con los de esta forma los que coinciden con esta forma por ejemplo cuando n es cero nos queda pido o sea dos muy bien aquí está cuando en es uno tendremos cuatro más uno son cinco pi doceavos que tenemos éste tiene fuera dos ya tendríamos 9 pi doceavos que se pasa de depp y medio es verdad entonces ya no nos podemos seguir adelante pero también podemos tomar números negativos por ejemplo si aquí fuera menos 1 tendríamos 4 x menos 1 son menos cuatro más uno son menos 3 y 12 a 2 y si nos tomamos menos 2 tendríamos menos 2 por 4 es menos 81 son menos 7 pido seamos y se pasa entonces realmente aquí están nuestras soluciones y si ya contamos son tres soluciones ok y entonces nuestra respuesta parcial podrían ser tres soluciones y ahora hay que fijarnos que no sean de la forma n pie entre 5 y no lo son verdad porque son de la forma en el pie entre 12 así que todo va bien y la respuesta son 33 simplemente son tres valores de teta que cumplen todas estas restricciones