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Problema trigonométrico de desafío: valor máximo

Sal resuelve un problema algebraico de trigonometría muy complejo, que apareció como el problema 48 en el examen 2010 IIT JEE Paper I. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

el valor máximo de la expresión 1 / seno cuadrado detecta más tres veces seno de teta por ccoo se no detecta más 5 x kosher no cuadra de teta es lo primero que voy a hacer es tratar de simplificar esta expresión así que volvamos a escribirla quizás aquí abajo 1 / seno cuadrado de teta seno cuadrado de teta y cada vez que veo un seno cuadra de teta mi mente automáticamente busca un coste no cuadra de teta porque yo sé que se no cuadra beteta más coseno cuadrado teta siempre vale 1 y aquí no sólo tengo un coste no cuadra beteta tengo cinco de ellos así que déjenme me robó uno el robo 1 para escribir más coseno cuadra de teta si me robe 1 me quedan cuatro así que más cuatro veces coseno cuadrado de teta más tres veces el seno de teta por el coseno de teta bien y vamos a continuar simplificando esta expresión para empezar 12 que aquí se nos cuadra de teta más coste no cuadra beteta como decía antes esto vale 1 así que vamos a escribir esto como 1 / 1 / cuanto pues va a ser uno esté uno aquí más cuatro veces coseno cuadra beteta ahora yo sé yo sé déjenme lo escribo por acá que de nuestros vídeos de trigonometría jose no cuadra beteta cose no cuadra beteta es igual a uno más coseno de dos tetas entre 2 1 + coseno de 2 t está entre 2 y entonces puedo sustituir este 4 coseno cuadra beteta por 4 veces estoy acá pero cuánto es eso de ahí 4 veces esto sería lo mismo que 2 dos más dos veces coseno de dos tetas dos más dos veces coseno de dos tetas digamos esto fue este caso de aquí ahora más tres veces que no detecta por coseno de teta estas de aquí pues ahora yo sé qué seno de dos tetas es igual a dos veces el seno de teta por el coste no de teta así que si divido esta expresión entre 2 obtengo que un medio de el seno de 2 t está es igual a el seno de teta por el coseno de teta así que si sustituyo esto acá obtendría más tres veces perdón tres medios tres medios porque es tres por un medio tres medios por seno de dos zetas bien así que ya vamos mejorando y el objetivo de hacer esto es que lo que voy a querer hacer es si quiera maximizar esta fracción eso equivale a minimizar el denominador así que quiero simplificar la y después quizás usar cálculo o algo así bien entonces esto lo puede escribir como 1 / 1 entre 12 estrés más dos veces coseno de dos tetas más tres medios tres medios de seno de dos teta y entonces lo que estoy buscando lo que estoy buscando es el mínimo el mínimo de esta expresión el mínimo de tres más dos veces coseno de dos tetas más tres medios de seno de dos teta el mínimo de xto expresión se correspondería con el máximo de esta así que esto es igual a el mínimo y lo único que voy a hacer es sustituir dos teta por equis simplemente para hacer las cuentas más fáciles tres más dos veces coseno de x tres más dos veces coseno de x más tres medios seno de x bien así que quiero minimizar esto y para ello vamos a usar cálculo bien pues la derivada de esto quiero obtener la derivada de esto es igualar la a cero y la derivada de esto sería la derivada de 13-0 la derivada de dos por coseno de x es igual a menos dos seno de x menos 20 de x más tres medios tres medios la derivada del seno de x es cosa de x seno de x y esto lo quiero igualar a cero esto nos daría ya sea un máximo o un mínimo donde la pendiente de la tangente es nula pero después voy a tener que determinar qué valores si es un máximo o es un mínimo perfecto entonces y aquí puede escribir esto como tres medios por el coseno de x es igual a dos veces el seno de x ahora voy a dividir todo entre dos y me quedaría tres cuartos de coseno de x es igual a es igual a seno de x y ahora dividido todo entre coseno y obtengo que tres cuartos es igual a seno de x / coseno de x pero quién es esta expresión tiene seno de x entre costa no x pues ustedes ya saben que esto es tangente de x bien así que el valor mínimo o máximo se alcanza cuando la tangente x vale 3 entre 4 y cuando sucede eso pues vamos a tratar de graficar vamos a tratar de ver cómo funciona esto así que voy a tratar de dibujar un círculo unitario un círculo comunitario algo así y déjenme pongo mi círculo aquí vamos a decir que eso es un círculo unitario perfecto entonces los valores de la tangente como puede encontrar una equis donde la tangente valga tres cuartos estoy buscando un ángulo con el eje positivo pues de hecho tangente es igual a cateto opuesto / adyacente así que si dibujo aquí un triángulo un triángulo rectángulo entonces este este cateto tendría que valer si esto es x este cateto tendría que valer 3 y éste tendría que valer 4 y espero que reconozcan esto como un triángulo 345 es decir la hipotenusa vale 5 eso es muy fácil de calcular 3 al cuadrado más 4 al cuadrado es igual a 9 16 que es 25 y 5 al cuadrado es 25 así que es un triángulo de esta forma aunque aquí la hipotenusa no es unitaria no vale 1 pero puedo corregir eso sólo tengo que dividir todo entre 5 así que veamos si / todo entre 5 la hipotenusa baldía 1 el cateto opuesto valdría tres quintos tres quintos y el cateto adyacente valdría cuatro quintos esto sería x pero en este caso el coseno y el seno son positivos de modo que esta expresión está quizás no minimizada sino maximizada en este punto pero afortunadamente hay otro lugar donde la tangente vale tres cuartos y ese es si prolongó esta recta del otro lado se correspondería con este ángulo con todo este ángulo y aquí la tangente también vale tres cuartos en este caso la coordenada x que corresponde con el coche no vale menos cuatro quintos y la coordenada jake que corresponde al seno valdría menos tres quintos así que esta es la que probablemente minimice esta función de hecho también podría haber usado la prueba la segunda derivada a checar si la segunda derivada es positiva entonces esto se corresponde con un mínimo y si la segunda derivada es negativa se corresponde con un máximo pero en este caso puedo adivinar de aquí directamente y noten que no me están pidiendo encontrar el valor de x o de theta para el cual se satisface esto solo me están pidiendo encontrar este máximo así que con estos valores con estos valores ya puedo resolver mi problema porque yo sé que para este valor de x el coste no vale menos cuatro quintos y el seno vale menos tres quintos así que si sustituyó a que obtendría no tendría tres más dos veces el seno de x por el coseno de x es menos cuatro quintos mis cuatro quintos más tres medios del seno de x que sería tres medios por tres quintos menos tres quintos y esto cuanto vale pues es tres menos ocho quintos - nueve décimos y esto si lo pongo en denominador como un 10 esto sería 30 30 - 16 menos 9 todo entre 10 y esto sencillamente es 30 menos 16 a 14 menos 955 decimos cinco décimos y cinco decimos cuánto es pues cinco décimos es simplemente un medio así que el valor mínimo de esta expresión es es un medio pero entonces cuál es el valor máximo de esta expresión pues sería uno entre un medio que es simplemente dos y ya acabamos