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Problema trigonométrico de desafío: sistema de ecuaciones

Sal resuelve un problema algebraico de trigonometría muy complejo, que apareció como el problema 55 en el examen 2010 IIT JEE Paper I. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

el número de posibles valores para teta con 0 menor que teta menor que pi para los cuales el sistema de ecuaciones gemma z por el coseno de tres teta es igual a equis porque por z por el seno de tres teta y simultáneamente x por seno de tres teta es igualados por el coseno de tres z entre y más dos por el seno de tres teta entre z y simultáneamente x porque por z por el seno de tres teta es igual a yemas 12 está por el coste no de 3 z más que por el seno de tres tetas tiene una solución x 0 10 000 con 10 0% a 0 distinto de cero primero que nada observen que esta restricción el hecho de que de cero por z cero tenga que ser distinto de cero lo único que quiere decir es que de cero iceta cero no pueden ser cero así que bueno para empezar mi mente se da cuenta de que todas las expresiones trigonométricas involucradas tienen argumento 3 theta así que podría ser la sustitución para simplificarle la vida podría sustituir igual a tres tetas pero tengo que tener cuidado porque también tengo esta condición que cero es menor estricto que teta menor estricto que pi así que si eres menor estricto que te da menor estricto que pin entonces cero tiene que ser menor estricto que un y menor estricto y tiene que ser menor estricto que tres por pi con eso en mente vamos a cambiar todas las tres tetas por bus esto se convierte en una u esto también se convierte en un esto se convierte en un esto también se convierte en un esto se convierte en un esto se convierte en uno esto abre su y también esto bien ahora lo que quiero hacer es tratar de igualar estas ecuaciones entonces si se dan cuenta en todas aparece este factor de seno de 3 o de alguno de los dos lados en este caso está del lado izquierdo y acá del derecho así que bien pues en esta ecuación si la multiplicó por si la multiplicó por 10 por zeta si multiplico toda esta ecuación o ambos miembros de esta ecuación por ye por zeta entonces obtendría x porque por z por el seno de uke sería lo mismo que tengo acá arriba y lo mismo que tengo acá abajo así que también voy a multiplicar de este lado por por z y también tiene la consecuencia alegre de que va a cancelar los denominadores de este lado de la ecuación del lado derecho así que bien déjenme reescribir todo esto vamos a empezar con este azul primero que nada la primera ecuación voy a pasar x x 10 x zeta por el seno de d y lo voy a pasar del lado derecho y mover esto del lado izquierdo así que mi primera ecuación lee x porque por z por el seno de 1 es igual a voy a distribuir el coseno así que sería por el coseno de un maceta por el coseno de mi segunda ecuación diría x porque por z por el seno de u es igual a dos veces que se nos entregue porque por z las jie se cancelan y me queda dos veces zeta jose no de v más en este caso dos veces seno de eeuu en 13 está por tiempo z se cancelen las setas y me queda dos veces seno de un y la tercera ecuación es así la voy a dejar bueno voy a expandir esto pero el lado izquierdo dice x por 10 por z por el seno de eeuu es igual y por el coche no de un + 2 zeta + 12 está por el coche no dv más y por el seno de un muy bien ya que tengo las ecuaciones escritas de este modo noten que todos los lados derechos son iguales entre sí porque todos son iguales a x porque por z por el seno de eeuu así que vamos a tratar de cancelar algunas cosas y vamos a igualar este lado derecho con este lado derecho los dos son iguales a x porque por z por el seno digo así que dos veces z por coseno de uno más dos veces por el seno de uno va a ser igual va a ser igual a por el coche no de uno más dos veces z por el coseno de un más que por el seno de uno entonces bien noten noten que este término 12 tacos se nos aparece de los dos lados así que no puedo cancelar este término cancela a este término y ahora puedo restar de ambos lados y por el seno de uno y si hago eso lo que obtendría sería 210 seno de un -19 obtendría simplemente de seno de eeuu tiene que ser igual se cancela acá y sólo me queda seco seno de un eco seno de eeuu de este modo tengo una primera restricción porque los coeficientes de y que son por un lado seno de v y coseno de eeuu tienen que ser iguales porque esto es en cierto modo un polinomio así que mi primera restricción me diría que el seno de uno lo hago aquí con amarillo me diría que el seno de eeuu tiene que ser igual a el coseno de iu pero en qué momentos pase esto vamos a tratar de graficar esto déjenme pongo mi círculo unitario este mensajes y mi círculo unitario se ve algo así algo así entonces bien para qué valores coincide el seno con el coseno pues sí empiezo a recorrer el círculo unitario en esta dirección noto que primero tengo un valor aquí que sería 45 grados o pi cuartos en el que el seno es igual al coseno continuó recorriendo el círculo unitario podría pensar que este punto funciona pero hay que tener cuidado porque aquí el coche no es negativo y el pse no es positivo así que este punto no funciona continúo continuo continuó hasta que llegó aquí llegó aquí a cinco cuartos y en cinco pi cuartos el seno es negativo el coseno también es negativo y son iguales de hecho estos dos puntos son diametralmente opuestos ok continuó continuó continuó de nuevo este punto no funciona continuó aquí ya recorrido dos p ok y ha recorrido dos pi ha hecho una vuelta completa pero uno tiene que ser menor que tres pi así que todavía puedo continuar un cacho más si continúa de nuevo regreso a este punto y continúo continuó continuó ya no encuentro ningún otro sólo puede llegar hasta este punto de acá porque solo puedo recorrer tres pi entonces entonces cuántos valores tuve pues tuve 12 y luego repetí este 3 lo que hice fue di una vuelta completa hasta ahí llevo 2 p y luego doy otro cachito para 3 pi ahora sólo vamos a checar que no se nos haya escapado alguna otra restricción bien pues de osella ya use la segunda y la tercera ecuación para obtener esta restricción así que ahora voy a usar la primera y la tercera y entonces si igualó los miembros derechos entonces que por el coseno de v más z por el coseno de v z por el coseno de v tiene que ser igual y por el coseno dv más dos veces z por el coche no de eeuu más que por el seno de un bien entonces ahora qué puedo hacer pues para empezar puedo cancelar en este caso llegó seno de v está en ambos miembros de la ecuación así que lo puedo cancelar dios y adiós y ahora puedo restarse taco seno de uno de ambos lados de la ecuación y obtener que 0 va a ser igual a dos veces z por el coseno de uno menos z coseno dv sería simplemente z por el coseno dv más que por el seno de eeuu es igual a 0 pero si se fijan en la segunda ecuación tengo que dos veces todo esto tiene que ser igual a x por d por z seno de uno así que déjenme multiplicar todo esto por dos si multiplico dos por cero a cero y esto tiene que ser igual a 2 por z coseno dv + 2 x de seno dv y esto a su vez por la segunda ecuación tiene que ser igual a equis porque por z por el seno de v entonces para que esto se valga para que esto se valga como ni-ni z pueden ser 0 lo que tiene que pasar es que x va a tener que ser igual a 0 pero eso no es ninguna restricción porque el problema no dice nada acerca de los valores que puede tomar x así que es perfectamente válido que x sea 0 y en este caso ya usamos las tres ecuaciones ya nos dimos cuenta que de la segunda y la tercera el seno de eeuu tiene que ser igual al coseno de eeuu y a partir de la primera la segunda y en perdón la primera y la tercera y después por la segunda nos damos cuenta que esa es la única restricción que tenemos entonces ahora nosotros sabemos que el seno de v es igual al coste no de exactamente en tres lugares entre cero y tres y uno de ellos sería pi cuartos y cuartos el otro sería justo acá que sería pi cuartos más o sea cinco pi cuartos cinco cuartos y ahora cinco pi cuartos más que sería nueve y cuartos que esencialmente es el mismo ángulo que y cuartos pero noten que esto es para un y lo queríamos para theta así que al dividir estos valores entre 3 obtenemos los valores de teta que satisfacerían este sistema y entonces hay tres soluciones al sistema de ecuaciones