Problema verbal de trigonometría: resolver para la temperatura

en el último vídeo pudimos modelar la temperatura máxima promedio en santiago de chile en función de los días del año donde los días del año los tomamos a partir de enero 7 así es que este de aquí es el 7 de enero pero no hemos terminado nos piden que encontremos cuántos días después del 7 de enero es el primer día de primavera cuando la temperatura alcanza 20 grados centígrados y te indique que tomarlas en cuenta que nos están pidiendo el primer día de primavera y la razón de esto es que hay dos días cuando la temperatura alcanza 20 grados centígrados suponte que estos son 20 grados centígrados aquí tenemos un día cuando la temperatura alcanza 20 grados centígrados y aquí tenemos otro día cuando la temperatura máxima alcanza 20 grados centígrados y cuál de estos ocurre en primavera bien como no lo indican allá arriba aquí estamos en verano verano en el hemisferio sur invierno en el hemisferio norte que es cuando ocurre esta máxima temperatura en santiago y si este es verano la estación que sigue de verano es otoño luego aquí vendría invierno seguiría la primavera y finalmente regresamos de nueva cuenta al verano así es que queremos este valor no este valor este es un día en otoño cuando la temperatura alcanzó un máximo promedio de 20 grados centígrados mientras que este de aquí es un día de primavera cuando la temperatura alcanza un máximo promedio de 20 grados centígrados ese es el primer día de primavera bueno no el primer día de primavera en sí sino el primer día de primavera cuando la temperatura alcanza 20 grados centígrados este valor de aquí está ocurriendo en primavera así es que este es el día que nos están pidiendo tomemos en cuenta eso mientras manipulamos un poco está expresión queremos que la temperatura sea 20 grados centígrados por lo que 20 grados centígrados tiene que ser igual a 7.5 que multiplica al coseno dedos sobre 365 por los días y a eso tenemos que sumarle ya eso tenemos que sumarle 21.5 y ahora restamos 21.5 ambos lados para obtener menos 1.5 que es igual a todo esto y aquí voy a copiar y pegar copio y pego menos 1.5 es igual a todo esto ahora dividimos ambos lados entre 7.5 queremos despejar el coseno y eventualmente de así es que dividiendo entre 7.5 ambos lados dividimos entre 7.5 del lado izquierdo y entre 7.5 del lado derecho estos términos se cancelan y del lado izquierdo nos queda veamos 7.5 entre 1.5 es igual a 5 el recíproco es un quinto así es que esto sería menos un quinto o su equivalente que sería menos 0.2 menos 0.2 que es igual al coseno dedos sobre 375 multiplicado por el número de días después de enero 7 el número de días después de enero 7 y aquí es cuando tenemos que ser muy cuidadosos no podemos aplicar la función coseno inversa así a ciegas tenemos que estar seguros de qué ángulo estamos obteniendo que estamos obteniendo el ángulo correcto aquí pues recuerda queremos que este argumento de la función coseno no sea que nos dé este punto sino el que nos da este punto de aquí o más bien el que corresponde a s para esto dibujemos un círculo unitario para cerciorarnos de que es lo que estamos haciendo y esto es algo que hago siempre sobre todo cuando estoy resolviendo problemas de aplicación que tienen que ver con funciones trigonométricas inversas y para las cuales no se puede tomar a ciegas un resultado que se obtiene la calculadora construyamos entonces el círculo unitario aquí tenemos el eje x el eje y es el círculo de radio 1 con centro en el origen más o menos a eba ya hemos hecho varias veces este círculo unitario que finalmente ahí lo tenemos enero 7 este punto de aquí que se ubica en el verano corresponde al círculo unitario a este punto de aquí que ocurre en el verano a medida que pasan los días se incremente el ángulo se incremente el argumento del coseno hasta que llegamos a la siguiente estación que sería el otoño este punto que tenemos aquí corresponde al otoño luego vendría el invierno que corresponde a este punto de aquí en este punto nos encontramos entonces en invierno y posteriormente arriba la primavera en el círculo unitario este punto corresponde a la primavera y queremos el ángulo cuyo coste no es menos 0.2 así es que si este es menos 1 menos 0.2 es más o menos la quinta parte del camino aproximadamente por aquí ubicaríamos a menos 0.2 y observa que podemos encontrar este ángulo de aquí este ángulo de aquí su coste no corresponde a menos 0.2 pero también podemos encontrar deja de marcarlo aquí con esta línea punteada también podemos encontrar este otro ángulo de aquí que va mucho más allá de la anterior o también podríamos considerar que vamos en sentido contrario y si queremos ir a la siguiente primavera tendríamos que agregar dos y al ángulo así es que cuál de estos dos queremos por supuesto queremos el que está en primavera pero si aplicamos ciegamente el resultado que nos da coseno inverso de menos 0.2 el ángulo correspondiente a este punto que está en otoño a ver verifiquemos esto inverso coseno de menos 0.2 esto nos da 1.77 aouate que este 0 este speed este es 3.14 16 así es que si este ángulo de 1.77 es ligeramente mayor que pi sobre 2 y corresponde al que obtuvimos con la calculadora así es que este ángulo es aproximadamente 1.70 y 7 radiales es este ángulo es ese ángulo que tenemos ahí pero no queremos ese queremos este de acá y como lo calculamos bien podemos considerar dar toda la vuelta y luego restar este ángulo que es igual a 1.77 por lo cual este ángulo sería 2 p - 1.77 veamos cuánto nos da eso esto es entonces y dos por pi menos ans que es la respuesta que tenemos anteriormente para no perder precisión y esto nos va a dar 4.51 4.511 chequemos el resultado veamos si está bien aquí tenemos piques 3.14 aquí tenemos dos piques 6.28 la respuesta a 4.51 está entre 3.14 6.28 así es que si es un resultado adecuado pero no hemos acabado aún hemos obtenido que el argumento de coseno que nos interesa es decir 2 p sobre 365 por d es igual a 4.500 11 ahora tenemos que despejar el valor de de hagamos es sólo va a ser allá abajo nada más voy a poner que esto es aproximadamente igual a 4.500 11 vamos a despejar de tenemos que 2 sobre 365 que multiplica a d esto es igual a 4.500 11 esto es igual a cuál 511 despejamos de multiplicando por el recíproco de 2 y entre 365 es decir multiplicamos por 365 entre 2 pi a ambos lados que obtenemos del lado izquierdo se cancelan estos términos y del lado derecho nos queda que de este producto 4.511 que la respuesta anterior la recuperamos con ans que multiplica a 365 dividido entre 2 pi y obtenemos redondeado a díaz 262 días después de enero 7 la respuesta es 262 días y así hemos concluido