La Ley de los senos funcionan con el teorema de Pitagoras

si, por que ya sabiendo 2 lados del triangulo y como sabemos los trangulos tienen 3 lados. podemos aplicar la ley de seno

¿a que se refiere identidad de cofunciones? se refiere a que es previo a tal?

Son las funciones: cosecante, secante y cotangente

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Curso: Trigonometría > Unidad 4

Lección 6: Usar identidades trigonométricas

Referencia de identidades trigonométricas

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Identidades de recíprocos y cocientes

\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)}

Juega con el punto en el círculo unitario para ver cómo cambian el coseno y la secante juntas. Observa que cuando el coseno es pequeño la secante es grande y viceversa. Resulta que su multiplicación es siempre exactamente

1

También podemos ver esta identidad con triángulos semejantes. Desliza el punto abajo de la gráfica para ver a un triángulo transformarse en el otro. Observa cuidadosamente la correspondencia entre segmentos.

\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}

Juega con el punto en el círculo unitario para ver cómo cambian el seno y la cosecante juntas. Observa que cuando el seno es pequeño la cosecante es grande y viceversa. Resulta que su multiplicación es siempre exactamente

1

\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)}

Juega con el punto en el círculo unitario para ver cómo cambian la tangente y cotangente juntas. Observa que cuando la tangente es pequeña la cotangente es grande y viceversa. Resulta que su multiplicación es siempre exactamente

1

\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

\cot (θ) = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

Identidades pitagóricas

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1^{2}

\tan^{2} (θ) + 1^{2} = \sec^{2} (θ)

\cot^{2} (θ) + 1^{2} = \csc^{2} (θ)

Identidades que provienen de sumas, diferencias, multiplos, y fracciones de ángulos

Estas están estrechamente relacionadas, pero examinemos cada clase.

Identidades de sumas y diferencias

\begin{aligned} \sin (θ + ϕ) & = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ \\ \sin (θ - ϕ) & = \sin θ \cos ϕ - \cos θ \sin ϕ \\ \cos (θ + ϕ) & = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ \\ \cos (θ - ϕ) & = \cos θ \cos ϕ + \sin θ \sin ϕ \end{aligned}

La siguiente figura muestra una manera de demostrar las identidades de suma de ángulos. Los lados izquierdo y derecho del rectángulo son iguales, con lo cual tenemos:

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

Los lados superior e inferior también son iguales, y tenemos:

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

La manera más sencilla de entender el sentido de este diagrama es si empiezas con el triángulo rectángulo de en medio y construyes hacia afuera con las definiciones trigonométricas para triángulos rectángulos (SOH CAH TOA).

Con un diagrama similar se pueden probar las identidades de diferencia de ángulos. ¿Puedes dibujar uno?

(Técnicamente esta no es una demostración para todos los valores posibles de

θ

ϕ

, pero las identidades sí se aplican para todos los valores.)

\begin{aligned} \tan (θ + ϕ) & = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ} \\ \tan (θ - ϕ) & = \frac{\tan θ - \tan ϕ}{1 + \tan θ \tan ϕ} \end{aligned}

Podemos derivar la tangente de una suma mediante las identidades de seno y coseno de una suma.

\begin{aligned} \tan (ϕ + θ) & = \frac{\sin (ϕ + θ)}{\cos (ϕ + θ)} \\ = \frac{\sin (ϕ) \cos (θ) + \cos (ϕ) \sin (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ) - \sin (ϕ) \sin (θ)} \\ = \frac{(\frac{\sin (ϕ) \cos (θ) + \cos (ϕ) \sin (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ)})}{(\frac{\cos (ϕ) \cos (θ) - \sin (ϕ) \sin (θ)}{\cos (ϕ) \cos (θ)})} \\ = \frac{\tan (ϕ) + \tan (θ)}{1 - \tan (ϕ) \tan (θ))} \end{aligned}

Podemos obtener la diferencia de ángulos simplemente al sumar una medida negativa del ángulo.

\begin{aligned} \tan (ϕ - θ) & = \frac{\tan (ϕ) + \tan (- θ)}{1 - \tan (ϕ) \tan (- θ)} \\ = \frac{\tan (ϕ) - \tan (θ)}{1 + \tan (ϕ) \tan (θ)} \end{aligned}

Identidades de ángulos dobles

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

También podemos obtener esta a partir de la identidad de suma de ángulos, pero necesitamos una pequeña manipulación adicional.

Primero hagamos que los dos ángulos sean iguales.

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ

Ahora podemos utilizar la identidad

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

para convertir el lado derecho en términos de cosenos únicamente.

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ)

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}

Identidades de medios ángulos

\begin{aligned} \sin \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}} \\ \cos \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}} \\ \tan \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} \\ = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} \end{aligned}

Identidades de simetría y periodicidad

\sin (- θ) = - \sin (θ)

\cos (- θ) = + \cos (θ)

\tan (- θ) = - \tan (θ)

\begin{aligned} \sin (θ + 2 π) & = \sin (θ) \\ \cos (θ + 2 π) & = \cos (θ) \\ \tan (θ + π) & = \tan (θ) \end{aligned}

Identidades de cofunciones

\begin{aligned} \sin θ & = \cos (\frac{π}{2} - θ) \\ \cos θ & = \sin (\frac{π}{2} - θ) \\ \tan θ & = \cot (\frac{π}{2} - θ) \\ \cot θ & = \tan (\frac{π}{2} - θ) \\ \sec θ & = \csc (\frac{π}{2} - θ) \\ \csc θ & = \sec (\frac{π}{2} - θ) \end{aligned}

¡Todas estas identidades son similares!

La clave para entender estas identidades es darse cuenta que ir de

θ

\frac{π}{2} - θ

es equivalente a reflejar el ángulo a lo largo de la recta

y = x

El siguiente diagrama interactivo intenta mostrar cómo se relacionan los ángulos entre sí, y que

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

. Los otros pares de cofunciones funcionan de la misma manera, con lo cual se obtienen las otras identidades.

Apéndice: todas las razones trigonoméricas en el círculo unitario

Utiliza el punto movible para ver cómo cambian las longitudes de las razones de acuerdo al ángulo.

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Misael H. Monzalvo
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “La Ley de los senos funci...” de Misael H. Monzalvo
La Ley de los senos funcionan con el teorema de Pitagoras
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- Johana Marcela Gonzalez Charris
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alberta
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Gracias ¿semiótica de est...” de alberta
Gracias
¿semiótica de este lenguaje?
¿seno, coseno,...?
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Cruz Silva Axel Anuar
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “una rueda sujeta a aceler...” de Cruz Silva Axel Anuar
una rueda sujeta a aceleracion angular uniforme al rededor de su eje. inicialmente su velocdad angular es cero en los primeros 2 s gira un angulo de theta en los siguientes 2 s gira unangulo de theta2 la relacion theta 2 / theta 1 es
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carlosjumbo966
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “〖sen〗^2 θ=2 sen θ+3...” de carlosjumbo966
〖sen〗^2 θ=2 sen θ+3
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ESCOBAR AMADOR ALEJANDRO
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “la ley de senos funciona ...” de ESCOBAR AMADOR ALEJANDRO
la ley de senos funciona con cualquier problema eso es bueno
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Yapaire Roja Geidy
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “como podemos aplicar las ...” de Yapaire Roja Geidy
como podemos aplicar las identidades de simetría y periodicidad en nuestra vida cotidiana
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Jose Eduardo Hernandez Hernandez
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “¿a que se refiere identid...” de Jose Eduardo Hernandez Hernandez
¿a que se refiere identidad de cofunciones? se refiere a que es previo a tal?
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- Emilio Ramos
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Son las funciones: coseca...” de Emilio Ramos
  Son las funciones: cosecante, secante y cotangente
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erick atempan beristain
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “ley de los exponentes fun...” de erick atempan beristain
ley de los exponentes funciona con el teorema de pitagoras
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- Rodrigo.031995
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Si, funciona, pero tienes...” de Rodrigo.031995
  Si, funciona, pero tienes que tener en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición cuando apliques la potencia del lado de la ecuación en donde se encuentran los catetos (a^2+b^2)
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HernandezHernandezluisfelipe1D
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “la ley de senos funciona ...” de HernandezHernandezluisfelipe1D
la ley de senos funciona con cualquier problema
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- Oscar Sanchez
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “1. analizar el problema 2...” de Oscar Sanchez
  1. analizar el problema
  2. se tiene que cumplir:
  te dan dos lados y un angulo de opuesto de los catetos
  te dan dos angulos y un cateto opuesto a uno de los dos angulos
  si se cumple eso entonces si funciona para cualquier triangulo no rectangulo
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jerflorescastro2000
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “tienes mas ejercicios de ...” de jerflorescastro2000
tienes mas ejercicios de identidad trigonometrica
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