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Demostración de la identidad del coseno de suma de ángulos

Demostramos la identidad cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y). Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en el vídeo anterior demostramos la fórmula para la suma de ángulos en el seno así que se imaginarán que en este vídeo lo que quiero hacer es demostrar la fórmula de suma de ángulos para el coser que el coseno de x massieu es igual al coseno de x por el coche no deje menos si tenemos un más aquí tenemos un menos acá menos seno de x por seno de iu y voy a usar una técnica bastante similar que como demostré la fórmula para el centro los invito a que pausa en el vídeo ya sea ahora o en cualquier momento en el que ustedes consideren que pueden encontrar la respuesta por su cuenta y así como lo razonamos para el seno veamos cuál es el coste no de x más en este diagrama x que es este ángulo de acá y si vemos al triángulo rectángulo el co seno de x más recordamos que el coche no es el adyacente entre la hipotenusa y aquí el lado adyacente es el segmento a efe entre la hipotenusa pero aquí la hipotenusa es una así que a efe entre 1 va a ser igual a efe así que el coseno de x más es la longitud de este segmento a efe que estoy señalando aquí de hecho vamos a copiar esto para ponerlo aquí como etiqueta y que nos acordemos que esto es el coseno de x más ya la longitud del segmento a efe es el coseno de x más vemos cómo podemos encontrar esto la forma en que voy a pensar en ello es que viendo los triángulos rectángulos que tenemos si podemos encontrar esto que es a efe que déjenme escribirlo de otra manera esto es igual a la longitud del segmento ave la longitud del segmento ave que es todo este segmento de aquí abajo - la longitud del segmento efe - este segmento que estoy resaltando acá menos la longitud del segmento fbi y así como vemos que luce nuestra fórmula podríamos adivinar a que va a ser igual a b ya que va a ser igual efe si podemos demostrar que ave es igual al coseno de x por el coste no deje y si podemos probar que el segmento f b es igual al seno de x menos el seno de ella pues entonces habremos hecho la demostración que queremos que el coste no de x más bien que es igual a avn - efe o que es igual a esto menos esto pensemos en que son exactamente estas cosas que es ave pues vamos a ver el triángulo rectángulo a se ve del vídeo anterior sabemos que el triángulo que está arriba adc la hipotenusa de ese triángulo es 1 y la hipotenusa del triángulo de aquí abajo es coseno de x así que va a ser ave bueno pues ave es adyacente a nuestro ángulo y o también podemos decir y de hecho lo voy a escribir aquí abajo podemos decir que el coche no deje estar acá es igual a su lado adyacente que es el segmento ave entre la hipotenusa que es coseno de x multiplicamos ambos lados por coseno dx y nos queda que el segmento ab es igual al coseno de x por el coseno de ayer que es exactamente lo que queríamos demostrar aquí hemos probado que el segmento ave es igual al coseno de x por el coseno de gec todo esto es igual al coseno de x por el coseno de jett y ahora lo que nos falta es demostrar que el segmento f b es igual al seno de x por el seno de jett bueno este segmento se ve un poquito extraño acá pues no es parte de algún triángulo rectángulo tal cual pero lo que sí sabemos es que esto es parte de un rectángulo y este rectángulo lo usamos para la demostración de la suma de ángulos para el seno y también la vamos a usar ahora pues cuando esto podemos afirmar que el segmento f b es igual al segmento s miden lo mismo y aquí que es ese pues ya tenemos aquí nuestro ángulo y aquí arriba y este lado del segmento ese es el lado opuesto al ángulo el segmento s el seno de iu es la longitud de el lado opuesto el segmento s entre la hipotenusa que es seno de x y esto ya lo teníamos del vídeo anterior de este triángulo rojo grande ese es el opuesto aquí está la hipotenusa que mide 1 por lo tanto el opuesto es igual al seno de x y aquí multiplicamos ambos lados por el seno de x y nos queda lo que estábamos buscando el segmento s es igual al seno de x por el seno de iu y nuevamente el segmento s tiene la misma longitud que el segmento f así que acabamos de mostrar que el segmento f b es igual al seno de x por el seno de ella que justamente esto de aquí es igual a esta parte de las fórmulas nuevamente el coche no de x más bien que es igual a la longitud del segmento a efe es igual al segmento ave esté grandote menos el segmento fbi y acabamos de demostrar que la longitud de ave es igual al coseno de x por el cocina de james y que el segmento fbi es el seno de x por el seno de g y con esto terminamos