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Problema verbal de trigonometría: duración del día (desplazamiento de fase)

Transcripción del video

el día más largo del año en chino alaska es junio 21 el cual dura mil 96.5 minutos medio año después cuando los días son más cortos los días durará alrededor de 300 82.5 minutos si no es un año bisiesto el año tiene 365 días y junio 21 es el día 172 del año encuentra una función trigonométricas que modele la duración l del día del año entonces va a ser l en función de t suponiendo que no es año bisiesto te invito a que le pongas pausa el video e intentas hacerlo por tu cuenta antes de que lo hagamos juntos bien hagámoslo en vez de encontrar directamente le dé te voy a encontrar l de eeuu donde eeuu es una variable digamos intermedia que me permite construir una función que en principio es más simple precisemos esto donde eeuu son días después días después de junio 21 veamos esto en junio 21 en junio 21 cuánto vale u son los días después de junio 21 así es que igual es cero mientras que t t es igual a 172 pues nos están diciendo que junio 21 es el día 172 del año entonces cuál es la relación entre eeuu y te es simplemente una traslación de 172 días es decir u es igual ate es igual ate menos 172 cuando te vale 172 iuvalé 0 así es que primero vamos a obtener el eeuu para después sustituir uu porte menos 172 para empezar qué sucede cuando u es igual a cero déjame escribir todo esto que sucede cuando u es igual a cero cuando u es igual a cero es junio 21 que es cuando ocurre el valor máximo y cuál es la función trigonométricas que toma su valor máximo cuando la entrada cuando su argumento es igual a cero lleno de cero es igual a cero mientras que cosen o si toma su valor máximo en cero me parece que de alguna manera el modelo se facilita si usamos la función coseno así es que l de eeuu va a ser igual a una constante a que va a ser la amplitud x coseno de un argumento que va a estar dado por otra constante llamémosle c no mejor vamos a llamarle b dado que usamos a una constante ve que multiplica a mí variable u más otra constante que va a trasladar la función hacia arriba o hacia abajo así es que esta es la forma que tiene la función l de eeuu y ahora tenemos que determinar el valor de las constantes para empezar consideremos la amplitud y la línea del medio la línea del medio para establecer qué tanto hay que mover la función hacia arriba para esto saquemos la calculadora la línea del medio se va a ubicar a la mitad entre estos dos números tenemos que mil 96.5 más 300 82.5 entre dos esto es igual a 700 39.5 ese es el valor de s así es que sé es igual a 700 39.5 ahora la amplitud indica la variación que hay con respecto a la línea del medio podemos calcular entonces mil 96.5 menos esto o esto menos 380 y 2.5 mil 96.5 - el valor que acabamos de obtener 739 puntos 51 700 39.5 y así obtenemos esto es igual a 357 es la variación que hay con respecto a la línea de enmedio 357 a es igual a 357 ahora cuánto vale b para esto hay que considerar el comportamiento de la función cuál es el período de la función para ver esto voy hacer una pequeña tabla aquí así es que cuando eeuu cuando uu vale cero es decir cero días después de junio 21 queremos que nuestra función sea el valor máximo es decir nuestra función queremos que valga 357 que multiplica al coce no de cero más de 700 39.5 ahora cuál es la duración de un período un período es un año completo cuando los días tienen la misma duración esto es un poco de sentido común así es que después de 365 días cuando uno es igual a 365 se ha completado un período se regresará a ese valor máximo así es que el valor de la función es igual a 357 que multiplica al coce no de dos pisos y estamos considerando la típica función trigonométricas coseno y este ángulo fue un valor de teta cualquiera el período es dos pistas y es que el valor de la función corresponde a esto que estoy escribiendo aquí más de 700 39.5 y ahora podemos establecer que debe x 365 es igual a dos y dos pies igual a b x 365 vamos a escribirlo por acá a b x 365 esto de aquí tiene que ser igual a 2 pig esto es igual a 2 pig despejamos b dividiendo ambos lados entre 365 con lo cual obtenemos que ve es igual a 2 pi dividido entre 365 ya casi lo tenemos ya encontramos a b y c y lo único que tenemos que hacer es sustituir o igual a 'the menos 172 para obtener nuestra función de te hagamos eso y aquí merecemos una fanfarrias tenemos entonces que el dt es igual a 357 357 que multiplica a josé no debe que es 2 piso sobre 365 coseno de dos pick sobre 365 que multiplica noooo la queremos en términos de pepe no en términos de días después de junio 21 sino en días del año así es que multiplica ate menos 172 y eso más 700 39.5 y así hemos concluido parece una expresión muy complicada pero si lo analizas como lo hemos hecho en términos de los valores máximos y mínimos con respecto a la línea de enmedio y acs análisis cuando el argumento de la función es cero o dos y de hecho es mucho más fácil con cero y después ya te preocupas por la traslación no es tan difícil en fin espero que este video te haya sido útil