Demostración de la ley de los senos

y ahora haré una prueba de la ley de los senos entonces primero voy a dibujar un triángulo que no tiene por qué ser equilátero o rectángulo es un triángulo el que sea así que tenemos aquí un lado otro lado y de hecho lo voy a hacer ver un poco raro para que veas que aplica a cualquier tipo de triángulo y digamos que sabemos la siguiente información conocemos este ángulo este ángulo de aquí aunque bueno de hecho no voy a decir que sabemos lo que no sabemos de esto pero la ley de los senos es simplemente una relación entre diferentes ángulos y diferentes lados entonces digamos que este ángulo es alfa este lado su longitud es anne y digamos que este ángulo es beta y la longitud de aquí es b ajá entonces este es b y acá el ángulo beta ahora la longitud de aquí es b y bueno veamos si podemos encontrar una relación que conecta a b alfa y beta y bueno que podemos hacer espero que la relación que encontremos sea la ley de los senos porque en otro caso yo tendría que poner otro título a este vídeo pero bueno dibujar una línea aquí desde este vértice am así que bueno yo dibujo una línea que va derechito hacia abajo y de hecho será una línea perpendicular a este lado de abajo el lado el lado desconocido a un a uno le pongo nombre pero si debo ponerle el nombre le voy a poner se porque ya tenemos el lado a el adobe así que éste queda el a 12 y aquí tenemos un ángulo recto ahora yo no conozco la longitud de eso no sé nada simplemente de este vértice yo dejé caer una línea que es perpendicular al otro lado entonces bueno qué podemos hacer con esta línea si yo digo que esta línea tiene longitud x así que esta línea tiene longitud x y bueno podemos encontrar una relación entre a la longitud de esta línea xy beta lo que voy a hacer es bueno voy a cambiar el primero de color a ver cuál él dijo ahora bueno si nos enfocamos en este ángulo si nos enfocamos en este ángulo x es opuesto a beta y aer la hipotenusa y si nos enfocamos en este triángulo rectángulo que identidad tiene opuesto sobre hipotenusa siempre hay que queramos trigonometría debemos recordarnos del soca toa baja entonces opuesto hipotenusa es el seno si ves así que bueno muy bien vamos por buen camino de hecho si estoy entonces probando la ley de los senos y veamos si el seno de beta es igual a cateto puesto sobre hipotenusa x es el opuesto entonces es igual a x sobre la hipotenusa la cual es am y si quisiéramos resolver para x lo cual haré porque bueno será será conveniente después entonces multiplicamos ambos lados de la ecuación por an y obtenemos de esta manera a seno de beta a seno de beta es igual a x cierto o que bueno muy bien hasta aquí entonces bueno veamos si podemos encontrar una relación entre alfa ibm y x similarmente si observamos este triángulo rectángulo porque claro también es un triángulo rectángulo x aquí aquí relacionado con alfa es también el lado opuesto y ves la hipotenusa entonces bueno también podemos escribir que es seno de alfa entonces bueno lo escribo entonces seno de alfa es igual acá te propuesto sobre hipotenusa opuestos sobre hipotenusa entonces cateto opuesto es x y la hipotenusa es b entonces bueno resolvemos para x similarmente multiplicamos ambos lados por b y obtenemos b b por seno de alfa es igual a equis y que tenemos aquí tenemos dos distintas maneras con las que resolvimos para la línea x la línea que deje caer perpendicularmente la línea x entonces tenemos que hacer no de alfa es igual a xy que ve seno de alfa es también igual a equis y bueno si ambos son igual a equis entonces ambos son son iguales de acuerdo pues sí así que voy a escribir eso lo escribo en diferente color entonces sabemos que hace no de beta es igual a x lo cual también es igual a veces seno de alfa de seno de alfa y si dividimos ambos lados de la ecuación por an que obtenemos bueno pues ahora es 1 así que obtenemos que seno de beta es igual a b seno de alfa sobre a y bueno ya con esto si dividimos ambos lados por ver vamos a hacerlo vamos a dividir ambos lados por ver entonces obtenemos seno de beta sobre b es igual a que es igual al seno de alfa sobre a cierto esto es igual al seno de alfa sobre an y bueno aquí ya tenemos finalmente tenemos lo que queríamos esta es la ley de los senos es la razón la razón entre el seno de beta y su lado opuesto el lado opuesto que le corresponde al ángulo beta eso es b y bueno eso es igual al seno de alfa y su lado opuesto sobre su lado opuesto entonces de hecho lo puedes ver en muchos libros y suponemos que esto es teta y aquí este es el lado c entonces obtendríamos seno de teta sobre ser seno de teta sobre c y bueno de hecho la prueba para poder agregar aquí esto es idéntico escogimos sabe arbitrariamente podemos hacer lo mismo con con teta y con cesc cierto pero en lugar de dejar caer aquí una línea perpendicular la altitud desde theta bueno dejamos caer la desde otro ángulo es bastante sencillo porque lo puedes intentar ahora que aquí también a otra cosa que me parece muy interesante es que bueno estas son razones entonces tú puedes sacar sus inversa cierto podemos escribir b sobre seno de beta sobre seno de alfa lo cual también es muy útil porque tú conoces un lado y el ángulo que le corresponde su ángulo opuesto es decir aquí está el dato curioso en lo importante es que si tú conoces tres de estos lados tú puedes saber bueno tres de estos datos entonces tú puedes conocer el cuarto dato si conocemos a quienes hay quienes ve y quien es seno de alfa entonces podemos conocer quién es seno de beta a partir de esos tres y eso es lo mágico de la ley de los senos bueno nos vemos