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Razones trigonométricas recíprocas

Aprende cómo la cosecante, secante y cotangente son los recíprocos de las razones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente.
Ya hemos aprendido las razones trigonométricas básicas:
Pero hay otras tres razones más a considerar:
  • En lugar de start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, podemos considerar start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
  • En lugar de start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, podemos considerar start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction.
  • En lugar de start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction, podemos considerar start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
Estas nuevas razones son las razones trigonométricas recíprocas, y enseguida aprenderemos sus nombres.

La cosecante left parenthesis, \csc, right parenthesis

La cosecante es el recíproco del seno. Es la razón de la hipotenusa entre el lado opuesto al ángulo dado en un triángulo rectángulo.
sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction
\csc, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

La secante left parenthesis, \sec, right parenthesis

La secante es el recíproco del coseno. Es la razón de la hipotenusa entre el lado adyacente al ángulo dado en un triángulo rectángulo.
cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction
\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

La cotangente left parenthesis, cotangent, right parenthesis

La cotangente es el recíproco de la tangente. Es la razón del lado adyacente entre el lado opuesto al ángulo en un triángulo rectángulo.
tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction
cotangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

¿Cómo recuerda la gente estas cosas?

Para la mayoría de la gente, es más fácil recordar estas nuevas razones si las relaciona con sus recíprocos. La siguiente tabla resume estas relaciones.
Descripción verbalRelación matemática
cosecanteLa cosecante es recíproca de seno.\csc, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
secanteLa secante es recíproca de coseno.\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
cotangenteLa cotangente es recíproca de tangente.cotangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction

Determinar las razones trigonométricas recíprocas

Estudiemos un ejemplo.

En el siguiente triángulo, determina \csc, left parenthesis, C, right parenthesis, \sec, left parenthesis, C, right parenthesis y cotangent, left parenthesis, C, right parenthesis.

Solución

Determinar la cosecante
Sabemos que cosecante es recíproca de seno.
Puesto que el seno es la razón del opuesto entre la hipotenusa, la cosecante es la razón de la hipotenusa entre el opuesto.
csc(C)=hipotenusa opuesto=1715\begin{aligned}\csc (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}} {\blueD{\text{ opuesto}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{15}} \end{aligned}
Determinar la secante
Sabemos que secante es recíproca de coseno.
Puesto que el coseno es la razón del adyacente entre la hipotenusa, la secante es la razón de la hipotenusa entre el adyacente.
sec(C)=hipotenusaadyacente=178\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}}{\maroonC{\text{adyacente}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}
Determinar la cotangente
Sabemos que cotangente es recíproca de tangente.
Puesto que la tangente es la razón del opuesto entre el adyacente, la cotangente es la razón del adyacente entre el opuesto.
cot(C)=adyacenteopuesto=815\begin{aligned}\cot (C) &= \dfrac{\maroonC{\text{adyacente}}}{\blueD{\text{opuesto}}} \\\\ &= \dfrac{{8}}{{15}} \end{aligned}

¡Inténtalo tú mismo!

Problema 1
\csc, left parenthesis, X, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4

Problema 2
\sec, left parenthesis, W, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4

Problema 3
cotangent, left parenthesis, R, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4

Problema de desafío
¿Cuál es el valor exacto de \csc, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

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