Seno y coseno de ángulos complementarios

Queremos demostrar que el seno de un ángulo es igual al coseno del complemento del ángulo:

Empecemos con un triángulo rectángulo, y observemos que los ángulos agudos son complementarios, suman $90^\circ$90, degrees.

Ahora aquí está la parte interesante. Observa que el seno de un ángulo agudo

describe $\blueD{\text{exactamente la misma razón}}$start color #11accd, start text, e, x, a, c, t, a, m, e, n, t, e, space, l, a, space, m, i, s, m, a, space, r, a, z, o, with, \', on top, n, end text, end color #11accd que el coseno del otro ángulo agudo:

¡Increíble! Ambas funciones, $\sin(\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis y $\cos(90^\circ-\theta)$cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis, dan exactamente la misma razón en un triángulo rectángulo.

¡Y hemos terminado! Hemos demostrado que $\sin(\theta) = \cos(90^\circ-\theta)$sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

En otras palabras, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento.

Bueno, técnicamente solo hemos demostrado esto para ángulos entre 0$^\circ$degrees y 90$^\circ$degrees. Para que esta demostración funcione con cualquier ángulo, debemos pasar más allá de la trigonometría del triángulo rectángulo al mundo de la trigonometría del círculo unitario, pero esa tarea la dejaremos para otra ocasión.

Puedes haber observado que las palabras seno y coseno" suenan parecido. Eso es ¡porque son cofunciones! La manera como operan las cofunciones es exactamente como ya hemos visto antes. En general, si $f$f y $g$g son cofunciones, entonces

y

$g(\theta) = f(90^\circ-\theta)$g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 90, degrees, minus, theta, right parenthesis.

He aquí la lista completa de las cofunciones trigonométricas básicas:

¡Genial! Quienquiera que le puso el nombre a las funciones trigonométricas debe haber entendido profundamente las relaciones entre ellas.