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Trigonometría
Curso: Trigonometría > Unidad 1
Lección 5: Seno y coseno de ángulos complementarios- Introducción de la identidad pitagórica en trigonometría
- Seno y coseno de ángulos complementarios
- Usar ángulos complementarios
- Relaciona razones en triángulos rectángulos
- Problema verbal de trigonometría: ángulos complementarios
- Problema trigonométrico de desafío: valores trigonométricos y razones de lados
- Razones trigonométricas de triángulos especiales
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Razones trigonométricas de triángulos especiales
Aprende a determinar el seno, coseno y tangente de triángulos 45-45-90 y también de tríangulos 30-60-90.
Hasta ahora hemos utilizado la calculadora para evaluar el seno, coseno y tangente de un ángulo. Sin embargo, es posible determinar las funciones trigonométricas de ciertos ángulos sin una calculadora.
Esto es porque hay dos triángulos especiales para los cuales ¡sabemos las razones trigonométricas! Se trata del triángulo 45-45-90 y el triángulo 30-60-90.
Los triángulos especiales
Triángulos 30-60-90
Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo con un ángulo de 30, degrees y uno de 60, degrees.
Triángulos 45-45-90
Un triángulo 45-45-90 es un triángulo rectángulo con dos ángulos de 45, degrees.
Las razones trigonométricas de 30, degrees
Ahora estamos listos para evaluar las funciones trigonométricas de estos ángulos especiales. Empecemos con 30, degrees.
Estudia el ejemplo completo abajo, para ver cómo se hace esto.
¿Qué es sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?
He aquí un ejemplo completo:
Paso 1: dibuja el triángulo especial que incluye el ángulo que nos interesa.
Paso 2: etiqueta los lados del triángulo de acuerdo a las razones de ese triángulo especial.
Paso 3: utiliza la definición de las razones trigonométricas para encontrar el valor de la expresión que se indica.
Observa que puedes pensar en x como 1, x, de manera que es evidente que start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
Ahora utilicemos este método para determinar cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis y tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis.
Las razones trigonométricas de 45, degrees
Intentemos nuevamente este proceso con 45, degrees. Aquí podemos empezar por dibujar y etiquetar los lados de un triángulo 45-45-90.
Las razones trigonométricas de 60degrees
El proceso para derivar las razones trigonométricas de los ángulos especiales 30, degrees, 45, degrees y 60, degrees es el mismo.
Aunque todavía no hemos mostrado explícitamente cómo determinar las razones trigonométricas de 60, degrees, ¡ya tenemos la información necesaria!
Un resumen
Hemos calculado las razones trigonométricas para 30, degrees, 45, degrees y 60, degrees. La siguiente tabla resume nuestros resultados.
| cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis | sine, left parenthesis, theta, right parenthesis | tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis | |
|---|---|---|---|
| theta, equals, 30, degrees | start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54 | start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54 | start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54 |
| theta, equals, 45, degrees | start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff | start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff | start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff |
| theta, equals, 60, degrees | start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54 | start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54 | start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54 |
Estos valores aparecen con frecuencia en problemas avanzados de trigonometría. Por ello, es útil conocerlos.
Algunas personas prefieren memorizar estos valores, pero eso no es necesario. En este artículo nosotros mismos hemos derivado los resultados, así que puedes volver a hacerlo en el futuro cuando los necesites.
¿Quieres unirte a la conversación?
Hay dos triángulos especiales para los cuales sabemos las razones trigonométrica. Se trata del triángulo 45-45-90 y el triángulo 30-60-90.
Esto funciona para todos los triángulos rectángulos independientemente de cuanto midan sus ángulos. Entre mas grande sea el angulo, mas largo sera su opuesto, y entre mas pequeño sea el angulo, mas corto sera su opuesto. Para los casos en los que los dos ángulos miden lo mismo, sus lados opuestos medirán lo mismo, como el caso del triangulo 45-45-90. Básicamente es proporcional(6 votos)
Siempre en los triángulos la hipotenusa será opuesta al ángulo más grande, en el caso de los triángulos rectángulos será opuesta al ángulo de 90°, de esta misma manera el cateto más chico será opuesto al ángulo más pequeño y también en este caso los catetos son perpendiculares entre sí.
Gracias a las funciones trigonométricas podemos conocer la proporcionalidad de cada lado, de tal suerte nos ayudan a resolver problemas en los que no se nos proporcionan todos los datos.
Las principales funciones son y se definen como:
SENO:CO/H
COSENO:CA/H
TANGENTE:CO/CA(6 votos)
Para este ejercicio nos sirve el conepto de "soh cah toa"
Asi encontraremos mas facil los valores(5 votos)- ¿si el triangulo de 30,60,90 se pone en un espejo formaría un triangulo equilatero?(1 voto)
- como se etiquetan los catetos de acuerdo a qué(1 voto)
no se le entiende oiga :/ tiene problemas con el estañol? un que de Euclides?(1 voto)
Muchas gracias he logrado comprender mejor el tema seguiré practicando(1 voto)
En un triángulo de 30º 60º 90º la medida de la hipotenusa es dos veces mayor que la medida del cateto de menor longitud, y la longitud del cateto mayor es raíz cuadrada de 3 más grande que la longitud del cateto menor.
En los triangulos de 45°, -45°, 90° la longitud de la hipotenusa es raíz cuadrada de dos mas larga que la longitud de cada cateto, es decir, es el resultado de la multiplicación de la medida de uno de los catetos por raiz cuadrada de dos.(1 voto)- Los triángulos especiales, triángulos de 30, 60, y 90. Triángulos de 45, 45 y 90. Esto funciona para todos los triángulos rectángulos sin importar cuanto midan sus ángulos, mientras más largo sea cualquier angulo, el opuesto igual será mas largo y entre mas pequeño sera mas corto, por lo tanto podría decirse que es proporcional por que sus lados opuestos medirán lo mismo.(1 voto)
- En el desarrollo de esta actividad puede aprender y reforzar conocimientos sobre ángulos, y triángulos especiales, que me servirán para el cálculo veloz de sus funciones trigonométricas, esto en los casos de los triángulos 30, 60, 90 y el de 45, 45, 90.(1 voto)
- Para conocer cualquiera de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) es posible obtenerlas sin la necesidad de usar una calculadora.
Se utilizara un triangulo rectángulo de 90°, 60° y 30°.
En este caso se puede afirmar:
-La hipotenusa es dos veces más grande que le cateto más corto.
-El lado más largo es la raíz cuadrada de 3 (√3) multiplicada por el lado más corto.
Para obtener cualquier razón se sustituirán tales valore con las operaciones correspondientes (división de catetos)
En el caso del triangulo rectángulo 45°, 45° y 90°
Se afirma que la hipotenusa es la raíz cuadrada de dos veces cualquier cateto, ya que estos son iguales se podrá tomar cualquiera y como siguiente paso la sustitución
Comentario: Es importante saber tales afirmaciones para poder determinar rápidamente y sin necesidad de usar calculadora pero en lo personal me gusta mas tener una referencia y un respaldo de los resultados. Es muy útil saber esto y me gustaría aprender más sobre las razones trigonométricas
-Have a good time(1 voto)