Aprende a determinar el seno, coseno y tangente de triángulos 45-45-90 y también de tríangulos 30-60-90.
Hasta ahora hemos utilizado la calculadora para evaluar el seno, coseno y tangente de un ángulo. Sin embargo, es posible determinar las funciones trigonométricas de ciertos ángulos sin una calculadora.
Esto es porque hay dos triángulos especiales para los cuales ¡sabemos las razones trigonométricas! Se trata del triángulo 45-45-90 y el triángulo 30-60-90.

Los triángulos especiales

Triángulos 30-60-90
Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo con un ángulo de 3030^\circ y uno de 6060^\circ.
Triángulos 45-45-90
Un triángulo 45-45-90 es un triángulo rectángulo con dos ángulos de 4545^\circ.

Las razones trigonométricas de 3030^\circ

Ahora estamos listos para evaluar las funciones trigonométricas de estos ángulos especiales. Empecemos con 3030^\circ.
Estudia el ejemplo completo abajo, para ver cómo se hace esto.

¿Qué es sin(30)\sin(30^\circ)?

He aquí un ejemplo completo:
Paso 1: dibuja el triángulo especial que incluye el ángulo que nos interesa.
Paso 2: etiqueta los lados del triángulo de acuerdo a las razones de ese triángulo especial.
Paso 3: utiliza la definición de las razones trigonométricas para encontrar el valor de la expresión que se indica.
sin(30)=opuesto hipotenusa=x2x=1x2x=12\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{opuesto }}{\text{hipotenusa}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}
Observa que puedes pensar en xx como 1x1 x, de manera que es evidente que x2x=1x2x=12\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1x}{2x}=\dfrac12.
Ahora utilicemos este método para determinar cos(30)\cos(30^\circ) y tan(30)\tan(30^\circ).

Las razones trigonométricas de 4545^\circ

Intentemos nuevamente este proceso con 4545^\circ. Aquí podemos empezar por dibujar y etiquetar los lados de un triángulo 45-45-90.

Las razones trigonométricas de 60^\circ

El proceso para derivar las razones trigonométricas de los ángulos especiales 3030^\circ, 4545^\circ y 6060^\circ es el mismo.
Aunque todavía no hemos mostrado explícitamente cómo determinar las razones trigonométricas de 6060^\circ, ¡ya tenemos la información necesaria!

Un resumen

Hemos calculado las razones trigonométricas para 3030^\circ, 4545^\circ y 6060^\circ. La siguiente tabla resume nuestros resultados.
cos(θ)\cos(\theta)sin(θ)\sin (\theta)tan(θ)\tan( \theta)
θ=30 \theta =30^\circ32\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}12\greenD{\dfrac12}33=13\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}
θ=45\theta = 45^\circ22=12\purpleC{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}22=12\purpleC{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}1\purpleC1
θ=60\theta = 60^\circ12\greenD{\dfrac12}32\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}3\greenD{\sqrt{3}}
Estos valores aparecen con frecuencia en problemas avanzados de trigonometría. Por ello, es útil conocerlos.
Algunas personas prefieren memorizar estos valores, pero eso no es necesario. En este artículo nosotros mismos hemos derivado los resultados, así que puedes volver a hacerlo en el futuro cuando los necesites.
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