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Trigonometría

Curso: Trigonometría > Unidad 1

Lección 4: Resolver un ángulo en un triángulo rectángulo mediante razones trigonométricas
Matemáticas
Trigonometría
Triángulos rectángulos y trigonometría
Resolver un ángulo en un triángulo rectángulo mediante razones trigonométricas
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Introducción a las funciones trigonométricas inversas

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Aprende sobre arcsin, arccos y arctan, y cómo pueden utilizarse para resolver un ángulo faltante en triángulos rectángulos.
Echemos un vistazo a un nuevo tipo de problema de trigonometría. Como dato interesante, estos problemas no pueden resolverse con seno, coseno o tangente.
Un problema: en el siguiente triángulo, ¿cuál es la medida del ángulo L?
Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden treinta y cinco y sesenta y cinco. El ángulo L es opuesto al cateto corto y su medida es desconocida.
Lo que sabemos: con respecto a angle, L, sabemos las longitudes de los lados opuesto y adyacente, así que podemos escribir:
tangent, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Pero esto no nos ayuda a determinar la medida de angle, L. ¡Estamos atorados!
Qué necesitamos: nuevas herramientas matemáticas para resolver problemas como este. Nuestros viejos amigos seno, coseno y tangente no dan el ancho. Estos toman ángulos y regresan razones de lados, pero necesitamos lo opuesto. ¡Necesitamos las funciones trigonométricas inversas!

Las funciones trigonométricas inversas

Ya conocemos la operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son operaciones inversas, al igual que la multiplicación y división. Cada operación hace lo opuesto de su inversa.
La idea es la misma en trigonometría. Funciones trigonométricas inversas hacen lo opuesto de las funciones trigonométricas "normales". Por ejemplo:
  • Seno inverso left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis hace lo opuesto del seno.
  • Coseno inverso left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis hace lo opuesto del coseno.
  • Tangente inversa left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis hace lo opuesto de la tangente.
En general, si conoces la razón trigonométrica, pero no el ángulo, puedes utilizar la correspondiente función trigonométrica inversa para determinar el ángulo. Esto se expresa matemáticamente en los siguientes enunciados:
Ángulos de entrada en funciones trigonométricas y razones de lados resultantesRazones de lados de entrada en funciones trigonométricas inversas y ángulos resultantes
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end fractionright arrowtangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

¡Alerta sobre una idea errónea!

La expresión sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis no es lo mismo que start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. En otras palabras, minus, 1 no es un exponente. Más bien indica simplemente que se trata de la función inversa.
FunciónGráfica
sine, left parenthesis, x, right parenthesis
Se muestra un plano coordenado. El eje x comienza en cero y va hasta noventa de decena en decena. Está etiquetado como grados. El eje y comienza en cero y va hasta dos de dos decenas en dos decenas. Está etiquetado como razón a. La recta graficada está etiquetada como seno de x, que es una curva no lineal. La recta del seno de x comienza en el origen y pasa por los puntos veinticuatro, cero punto cuatro, cuarenta, cero punto sesenta y siete, cincuenta y dos, cero punto ocho y noventa, uno. Aumenta desde el origen hasta el punto noventa, uno. La tasa de cambio se hace más pequeña, o menos profunda, a medida que los grados, o valores de x, se hacen más grandes. Todos los puntos son aproximaciones.
sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis (también llamado \arcsin, left parenthesis, x, right parenthesis) |
Se muestra un plano coordenado. El eje x comienza en cero y va hasta dos de dos decenas en dos decenas. Está etiquetado razón a. El eje y comienza en cero y va hasta noventa de decena en decena. Está etiquetado como grados. La recta graficada está etiquetada como seno inverso de x, que es una curva no lineal. La recta del seno inverso de x comienza en el origen y pasa por los puntos cero punto cuatro, veinticuatro, cero punto sesenta y siete, cuarenta, cero punto ocho, cincuenta y dos y uno, noventa. Aumenta desde el origen hasta el punto uno, noventa. La tasa de cambio se hace más grande, o más profunda, a medida que las razones, o valores de x, se hacen más grandes. Todos los puntos son aproximaciones.
start fraction, 1, divided by, sine, x, end fraction (también llamado \csc, left parenthesis, x, right parenthesis) |
Se muestra un plano coordenado. El eje x comienza en cero y va hasta noventa de decena en decena. Está etiquetado como grados. El eje y comienza en cero y va hasta dos de dos decenas en dos decenas. Está etiquetado como razón a. La recta graficada es uno dividido entre el seno de x, que es una curva no lineal. La recta de la cosecante de x comienza a decrecer desde el punto treinta, dos. Continúa decreciendo hasta el punto noventa, uno. La tasa de cambio comienza pronunciada en el punto treinta, dos, pero se hace más pequeña cuando la gráfica pasa por los puntos cuarenta, uno punto cincuenta y cinco; cincuenta, uno punto tres y sesenta y cinco, uno punto uno. La tasa de cambio es muy poco profunda cuando la gráfica se acerca al punto noventa, uno. Todos los puntos son aproximaciones.
Sin embargo, ¡hay una notación alternativa que evita esta confusión! También podemos expresar el seno inverso como \arcsin, el coseno inverso como \arccos, y la tangente inversa como \arctan. Esta notación es común en lenguajes de programación de computadoras, pero menos usual en matemáticas.

Resolver el problema introductorio

En el problema introductorio nos dieron las longitudes de los lados adyacente y opuesto, con lo cual podemos utilizar la tangente inversa para determinar el ángulo.
Un triángulo rectángulo con vértices L y V donde el ángulo L es desconocido. El lado entre los ángulos L y noventa grados mide sesenta y cinco grados. El lado entre el ángulo recto y el vértice V mide treinta y cinco unidades.
m∠L=tan⁡−1( opuesto adyacente)Define.m∠L=tan⁡−1(3565)Sustituye valores.m∠L≈28.30∘Evaluˊa con calculadora.\begin{aligned} { m\angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\blueD{\text{ opuesto}} }{\maroonC{\text{ adyacente}}}\right)&{\gray{\text{Define.}}} \\\\ m\angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)&{\gray{\text{Sustituye valores.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28.30^\circ &{\gray{\text{Evalúa con calculadora.}}}\end{aligned}

Ahora intentemos ahora algunos problemas de práctica.

Problema 1
Dado triangle, K, I, P, determina m, angle, I.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
El triángulo rectángulo K I P donde el ángulo A P I es un ángulo recto. El ángulo K I P es un ángulo desconocido. K I tiene diez unidades. K P tiene ocho unidades.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema 2
Dado triangle, D, E, F, determina m, angle, E.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
El triángulo rectángulo D E F donde el ángulo D F E es un ángulo recto. El ángulo D E F es un ángulo desconocido. D F tiene cuatro unidades. E F tiene seis unidades.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema 3
Dado triangle, L, Y, N, determina m, angle, Y.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
El triángulo rectángulo L Y N donde el ángulo Y L N es un ángulo recto. El ángulo L Y N es un ángulo desconocido. Y N tiene diez unidades. L Y tiene tres unidades.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema de desafío
Resuelve el triángulo completamente. Es decir, determina todos los lados y ángulos no conocidos.
Redondea tus respuestas a la centésima más cercana.
El triángulo rectángulo O Z E donde el ángulo O E Z es un ángulo recto. El lado O Z tiene nueve unidades. El lado E Z tiene de cuatro unidades.
O, E, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
m, angle, O, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
m, angle, Z, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

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