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Contenido principal

Razones laterales en triángulos rectángulos como función de los ángulos

 Por semejanza, las razones laterales en triángulos rectángulos son propiedades de los ángulos en el triángulo.
Cuando estudiamos congruencia, afirmamos que conocer dos medidas angulares y la longitud lateral entre ellas (congruencia ángulo-lado-ángulo) es suficiente para asegurar que todos los pares correspondientes de lados y ángulos son congruentes.
¿Cómo puede ser eso? Incluso con el teorema de Pitágóras, necesitamos dos longitudes laterales para obtener la tercera. En este artículo daremos los primeros pasos para entender cómo las medidas angulares y las longitudes laterales nos dan información entre sí, en el caso especial de los triángulos rectángulos.
Esta es una gran oportunidad para trabajar con un amigo o dos. El objetivo de este artículo es encontrar y discutir patrones, no pasar un montón de tiempo calculando. ¡Intenta repartir el trabajo para que haya más tiempo de hablar de lo que observas!

Busquemos patrones

Primero recopilaremos algunos datos sobre un conjunto de triángulos.
¿Cómo se relacionan los cuatro triángulos?
Los triángulos son
de acuerdo con el criterio
.

Tabla de medición
Aquí están esos triángulos nuevamente.
Completa la tabla de mediciones relativas a angle, A.
triangle, A, B, Ctriangle, A, D, Etriangle, A, F, Gtriangle, A, H, I
Longitud de cateto opuesto691215
Longitud de cateto adyacente8
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
16
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Longitud de hipotenusa1015
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
25
Ángulo A37, degree37, degree37, degree37, degree
Ángulo recto90, degree90, degree90, degree90, degree
Último ángulo
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree

Ahora podemos examinar esos datos en busca de patrones.
Tabla de razones
Completa la tabla de razones.
Redondea a la centésima más cercana.
triangle, A, B, Ctriangle, A, D, Etriangle, A, F, Gtriangle, A, H, I
start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

¿Qué observaste?

Demostrar que el patrón funciona para otra medida del ángulo

Demostración
Completa la demostración que start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fraction.
ProposiciónRazonamiento
1angle, A, \cong, angle, FTodos los ángulos rectos son congruentes
2angle, B, \cong, angle, EDado
3triangle, A, B, C, \sim, triangle
Semejanza
4start fraction, A, C, divided by, F, D, end fraction, equals, start fraction, B, C, divided by, E, D, end fractionLongitudes de lados correspondientes de triángulos semejantes tienen razones iguales
5start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fractionMultiplica ambos lados por

Conclusión de la demostración
¿Qué demostramos?
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¿Para qué triángulos lo demostramos?
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¿Qué concluimos?

Si dos triángulos rectángulos tienen la medida de un ángulo agudo en común, son semejantes por semejanza ángulo-ángulo. Las razones de las longitudes laterales correspondientes dentro de los triángulos serán iguales. Por lo tanto, la razón de las longitudes laterales de un triángulo rectángulo dependen únicamente de la medida de un ángulo agudo.

¿Por qué será útil esto?

Anteriormente podíamos utilizar el teorema de Pitágóras para obtener una longitud lateral faltante en un triángulo rectángulo, si sabíamos las otras dos longitudes. Ahora podemos relacionar las medidas de ángulos con las longitudes laterales del triángulo rectángulo. Esto nos permite determinar las dos longitudes laterales faltantes cuando sólo conocemos una longitud y la medida de un ángulo agudo. Podemos también obtener las medidas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo por medio de las longitudes de cualesquiera dos lados.
Extensión 1.1
Dada la medida de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, podemos averiguar las razones de las longitudes laterales del triángulo con respecto a ese ángulo agudo.
Aquí están las razones aproximadas para las medidas de ángulo de 25, degree, 35, degree y 45, degree.
Ángulo25, degree35, degree45, degree
start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, l, a, space, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction0, point, 910, point, 820, point, 71
start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, l, a, space, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction0, point, 420, point, 570, point, 71
start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction0, point, 470, point, 71
Usa la tabla para aproximar m, angle, J en el siguiente triángulo.
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