Problema verbal de trigonometría: modelar la temperatura diaria

en johannesburgo en junio la temperatura mínima diaria usualmente es alrededor de 3 grados celsius y la temperatura máxima diaria alrededor de 18 grados celsius la temperatura se ubica justo a la mitad entre la máxima diaria y la mínima diaria tanto a las 10 am como a las 10 pm y la temperatura máxima es por la tarde encuentra una función trigonométricas que modele la temperatura t mayúscula en johannesburgo t minúscula horas después de medianoche para empezar intentemos graficar la función este va a ser nuestro eje de temperatura este es el eje de temperatura en grados celsius de hecho vamos a construir dos gráficas y este el eje horizontal este eje horizontal va a ser el eje del tiempo t en horas ahora veamos el rango de la temperatura la temperatura presenta un mínimo de tres grados celsius y tiene un máximo de 18 grados celsius entonces aquí tenemos 18 mientras que esta de acá es 3 y el punto medio el cual se alcanza a las 10 am y 10 pm sería 18 + 3 21 entre 2 10.5 grados este punto determina la línea media entonces aquí en 10.5 tenemos la línea media que es la línea alrededor de la cual va oscilar nuestra función trigonométricas este es entonces la línea media mientras que el valor máximo es d 18 grados celsius y el valor mínimo es de 3 grados celsius de tal manera que la temperatura diaria va a estar oscilando alrededor de la línea media alcanzando el valor mínimo y máximo a lo largo del día ahora para simplificar las cosas y dado que la temperatura es 10.5 a las 10 am y 10 pm para simplificar no voy a encontrar por el momento la función que nos están pidiendo en términos de t horas después de medianoche en su lugar voy a construir una función que voy a llamar efe dt que va a proporcionar la temperatura temperatura en johannesburgo no voy a poner esto suponemos que todo es en johannesburgo así es que vamos a ponerlo directamente la temperatura t horas después de las 10 am y la razón por la cual estoy eligiendo 10 a m es que esa hora la temperatura está en el punto medio así es que temperatura t horas después 10 am y vemos que f cuando te vale 0 son las 10 am y la temperatura se ubica nos lo dicen entre la temperatura mínima y la máxima ahora cuál es el periodo de esta función trigonométricas bien después de 24 horas volverán a ser las 10 am así es que nuestro periodo va a ser 24 horas aquí tendríamos la mitad que son 12 horas y qué pasa después de 12 horas después de 12 horas son las 10 pm y la temperatura vuelve a ser 10.5 grados celsius y después de 24 horas decíamos otra vez las 10 am y la temperatura vuelve a ser 10.5 grados celsius así es que esos son puntos de ft ahora pensemos qué pasa al avanzar el día después de las 10 am a partir de las 10 am nos están diciendo que las temperaturas más altas son por la tarde y la tarde son estas horas que se ubican aquí así es que aquí debe subir la temperatura y el punto más alto se debe de alcanzar a la mitad entre estos dos es decir a las seis horas después de las 10 a las 4 pm así es que este va a ser el máximo déjame graficar la curva vamos a graficar la curva sinusoidal ahí la tenemos ya estamos a las 10pm y ahora el mínimo se va a ubicar seis horas después de las 10 pm cuando son las 4 am 18 horas después de las 10 am hay ubicaríamos más o menos la temperatura mínima vamos a completar esta curva sinusoidal y ahí tenemos la función efe dt ahora antes de obtener la función tdt cual sería una expresión y aquí la curva seguiría hacia adelante y aquí hacia atrás antes de 10m y así continuarían todos los días pero entonces cuál sería una expresión para ésta efe dt te invito a que le pongas pausa el vídeo e intentes encontrar la función por tu cuenta bien lo primero que tendríamos que considerar es una función seno o es una función coseno se puede modelar con cualquiera de los dos pero hay que elegir la que sea más fácil así es que aquí vamos a considerar cuál de estas dos funciones se encuentra en la línea media cuando te igual a cero bien el seno de cero 0 y si no fuera por la traslación esta función cruzaría el eje de la línea media en 0 0 0 es cero empieza a crecer para luego decrecer y así seguir oscilando así es que parece ser que la función se no es un buen candidato para el modelo de nueva cuenta también podría hacerse con función coseno pero se no nos facilita las cosas veamos ahora cuál es la amplitud cuál es la máxima variación que hay con respecto a la línea media aquí tenemos 7.5 por arriba de la línea media mientras que aquí tenemos 7.5 por abajo de la línea media si es que la amplitud es 7.5 déjame ponerlo con otro color para que veamos de dónde salen las cosas así es que este 7.5 éste también es 7.5 y aquí la amplitud es 7.5 y ahora cuál es el periodo bien como ya lo habíamos mencionado el periodo de esta función es 24 horas lo cual a este sentido después de 24 horas se tiene la misma temperatura así es que vamos a dividir entre el periodo entre 24 224 portes y si olvides que hay que dividir dos pies entre el periodo 224 aquí hay que considerar los valores de t que cubrirían todo el periodo de la función cuando t es igual a cero entonces este argumento se hace cero y estamos en este valor aquí y cuando te es igual a 24 el argumento va a ser 2 pitt así es que habremos dado una vuelta completa al círculo unitario considerando el argumento de la función seno ya casi la tenemos si yo graficar esta función vería que oscila alrededor del eje y entonces necesitamos trasladarla en 10.5 unidades hacia arriba y esto lo hacemos sumando 10.5 bien ya hemos obtenido un modelo adecuado y esto podemos simplificarlo aquí como pi sobre 12 en lugar de 2 pi sobre 24 sin embargo nosotros hemos obtenido un modelo adecuado para t horas después de las 10 am t horas después de las 10 am pero el problema nos pide que lo movemos para que horas después de medianoche entonces cuáles tdt aquí vamos a tener que hacer una pequeña traslación veamos cómo es esto escribamos entonces tdt donde está ahora si van a ser las horas después de medianoche la amplitud sigue siendo la misma 7.5 esa no va a variar 7.5 que multiplica a seno de voy a ponerlo con el mismo color para que podamos distinguir que cambia y que no cambia seno de 2 piso bre 24 lo voy a escribir como pi sobre 12 que multiplica a t y aquí es donde voy a incluir la traslación ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha no importa al final de cuenta la función se no es una función periódica así es que le vamos a sumar o al restar algún término eso lo vamos a considerar en un momento más 10.5 más 10.5 y en este punto a veces me confundo tengo que pensarlo de distintas maneras para ver si le estoy trasladando en la dirección correcta en la función que hemos desarrollado cuando te igual a cero son las 10 am necesitamos establecer para esta de dt cuál es el valor de t que nos da las 10 am en esta función las 10 am veámoslo de esta manera 10 a m son 10 horas después de medianoche así es que te de 10 t de 10 horas después de medianoche te de 10 am tiene que ser igual a efe de 0 que definimos como la temperatura pero horas después de 10 a n pongámoslo aquí abajo esta de aquí es temperatura a las 10 a m y esta de aquí que es la temperatura 10 horas después de medianoche también es la temperatura a las 10 am queremos entonces que t de 10 sea igual a efe de 0 por un lado efe de ser ocurre cuando este argumento es igual a 0 y por otro lado queremos que este argumento sea igual a cero cuando t es igual a 10 y como hacemos eso haciendo el argumento de menos 10 y observa cuando t es igual a 10 este término se hace 0 seno de 0 es 0 así es que sólo nos queda 10.5 y cuando está igual a 0 lo mismo esto se hace 0 y sólo nos queda 10.5 se cumple que te dé 10 es igual a efe de 0 y si queremos graficar esta función aunque ya hemos contestado a la pregunta si ponemos un 10 aquí tenemos de 10 que es igual a efe de 0 pero vamos a graficar la función así es que vamos a ubicarte de 10 desde 10 aquí tenemos 6 12 más o menos aquí aquí por la mitad tendríamos el 9 y el 10 estaré aquí aproximadamente a dos tercios de 10 es igual a efe de 0 y básicamente lo que estamos haciendo es trasladando la curva hacia la derecha así es que trasladamos todo hacia la derecha 10 unidades y eso hace sentido pues lo que ocurre ciertas horas después de las 10 am va a ocurrir esas ciertas horas más 10 después de medianoche así es que la curva vendría más o menos por aquí este punto también lo trasladamos 10 unidades a la derecha vendría por aquí este valor máximo estaría a las 16 horas más o menos así tendríamos nuestra curva también para este lado esta sería la curva de nuestra función y lo que hicimos fue el argumento le restamos t menos 10 al argumento y esta es la justificación de por qué hicimos eso