Pregunta de desafío: ¿puedes desarrollar las ecuaciones para las curvas de grado n generadas por el algoritmo de De Casteljau?

Ecuación paramétrica para una recta

En el primer paso del algoritmo de De Casteljau definimos un punto a lo largo de una recta en términos de t. Por ejemplo, si tenemos una recta entre dos puntos, start color blue, A, end color blue y start color blue, B, end color blue, entonces podemos definir un punto, P, left parenthesis, t, right parenthesis, en esa recta.
La ecuación para el punto es:
P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, start color blue, A, end color blue, plus, t, start color blue, B, end color blue.
Una recta entre los puntos A y B
A medida que t va de 0 a 1, P, left parenthesis, t, right parenthesis traza la recta de start color blue, A, end color blue a start color blue, B, end color blue. La ecuación es lineal, así que la recta se puede considerar como una curva de grado 1.

Curvas de grado 2

Cuando creamos una curva de grado 2 (una parábola), usamos tres puntos, start color blue, A, end color blue, start color blue, B, end color blue y start color blue, C, end color blue.
Un arco parabólico definido por los puntos A, B y C
Ahora obtenemos esta ecuación para un punto en la curva:
P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, start color blue, A, end color blue, plus, 2, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, t, start color blue, B, end color blue, plus, t, start superscript, 2, end superscript, start color blue, C, end color blue.

Curvas de grado 3

Si creamos una curva de grado 3 al usar cuatro puntos, start color blue, A, end color blue, start color blue, B, end color blue, start color blue, C, end color blue y start color blue, D, end color blue, ¿la ecuación para un punto en la curva está en términos de start color blue, A, end color blue, start color blue, B, end color blue, start color blue, C, end color blue y start color blue, D, end color blue?
P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

Curvas de grado 4

¿Qué pasa si creamos una curva de grado 4 al usar cinco puntos, start color blue, A, end color blue, start color blue, B, end color blue, start color blue, C, end color blue, start color blue, D, end color blue y start color blue, E, end color blue?
P, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

Curvas de grado n

Ahora veamos si podemos encontrar patrones en estas ecuaciones que nos permitan encontrar una ecuación general que use n, plus, 1 puntos, start color blue, A, start subscript, 0, end subscript, end color blue, comma, start color blue, A, start subscript, 1, end subscript, end color blue, comma, point, point, point, comma, start color blue, A, start subscript, n, minus, 1, end subscript, end color blue, comma, start color blue, A, start subscript, n, end subscript, end color blue, para definir una curva de grado n.
Mira el primer término en cada una de las ecuaciones de arriba y ve si puedes identificar algún patrón.
¿Cuál sería el coeficiente de start color blue, A, start subscript, 0, end subscript, end color blue en una curva de grado n?

Mira el último término en cada una de las ecuaciones de arriba y ve si puedes identificar algún patrón.
¿Cuál sería el coeficiente de start color blue, A, start subscript, n, end subscript, end color blue en una curva de grado n?

Ahora, la parte más difícil: mira los términos restantes en cada una de la ecuaciones anteriores. Observa que cada término incluye:
  1. una constante
  2. left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis elevado a una potencia
  3. t elevada a una potencia
Por ejemplo, para una curva de grado 2, el término start color blue, A, start subscript, 1, end subscript, end color blue es 2, left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis, t, así que el término constante es 2, el exponente en left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis es 1 y el exponente en t es 1.
En el coeficiente del término start color blue, A, start subscript, i, end subscript, end color blue en una ecuación para una curva de grado n:
¿Cuál es el exponente de left parenthesis, 1, minus, t, right parenthesis?

¿Cuál es el exponente de t?

Super extra desafío

¿Puedes encontrar una fórmula para el término constante para start color blue, A, start subscript, i, end subscript, end color blue? Una vez que hayas hecho eso, ¿puedes combinar todas estas partes en una ecuación para P, left parenthesis, t, right parenthesis para una curva de grado n?
Para el término constante, dale un vistazo al video anterior en el tema de Multitudes que cubre los coeficientes binomiales.
El término constante es un coeficiente binomial start binomial, left parenthesis, n, over, i, right parenthesis, end binomial, el cual puede calcularse con:
n!i!(ni)!\dfrac{n!}{i!(n - i)!}
Así que la ecuación completa para el coeficiente para start color blue, A, start subscript, i, end subscript, end color blue es:
n!i!(ni)!(1t)niti\dfrac{n!}{i!(n - i)!}(1-t)^{n-i}t^i
Observa que esta fórmula funciona para todos los términos, incluyendo start color blue, A, start subscript, 0, end subscript, end color blue y start color blue, A, start subscript, n, end subscript, end color blue.
Así que la ecuación para P, left parenthesis, t, right parenthesis para cualquier curva de grado n es:
P(t)=i=0nn!i!(ni)!(1t)nitiAiP(t) = \sum \limits_{i = 0}^n \dfrac{n!}{i!(n - i)!}(1-t)^{n-i}t^i\blue{A_i}