Pregunta de desafío: ¿puedes desarrollar las ecuaciones para las curvas de grado n generadas por el algoritmo de De Casteljau?

Ecuación paramétrica para una recta

En el primer paso del algoritmo de De Casteljau definimos un punto a lo largo de una recta en términos de tt. Por ejemplo, si tenemos una recta entre dos puntos, A\blue{A} y B\blue{B}, entonces podemos definir un punto, P(t)P(t), en esa recta.
La ecuación para el punto es:
P(t)=(1t)A+tBP(t) = (1- t)\blue{A} + t\blue{B}.
A medida que tt va de 00 a 11, P(t)P(t) traza la recta de A\blue{A} a B\blue{B}. La ecuación es lineal, así que la recta se puede considerar como una curva de grado 11.

Curvas de grado 22

Cuando creamos una curva de grado 22 (una parábola), usamos tres puntos, A\blue{A}, B\blue{B} y C\blue{C}.
Ahora obtenemos esta ecuación para un punto en la curva:
P(t)=(1t)2A+2(1t)tB+t2CP(t) = (1- t)^2\blue{A} + 2(1- t)t\blue{B} + t^2\blue{C}.

Curvas de grado 33

Curvas de grado 44

Curvas de grado nn

Ahora veamos si podemos encontrar patrones en estas ecuaciones que nos permitan encontrar una ecuación general que use n+1n + 1 puntos, A0,A1,...,An1,An\blue{A_0}, \blue{A_1}, ..., \blue{A_{n-1}}, \blue{A_n}, para definir una curva de grado nn.
Ahora, la parte más difícil: mira los términos restantes en cada una de la ecuaciones anteriores. Observa que cada término incluye:
  1. una constante
  2. (1t)(1 - t) elevado a una potencia
  3. tt elevada a una potencia
Por ejemplo, para una curva de grado 22, el término A1\blue{A_1} es 2(1t)t2(1 - t)t, así que el término constante es 22, el exponente en (1t)(1 - t) es 11 y el exponente en tt es 11.
En el coeficiente del término Ai\blue{A_i} en una ecuación para una curva de grado nn:

Super extra desafío

¿Puedes encontrar una fórmula para el término constante para Ai\blue{A_i}? Una vez que hayas hecho eso, ¿puedes combinar todas estas partes en una ecuación para P(t)P(t) para una curva de grado nn?
Cargando