Extra: las ecuaciones para los puntos en la subdivisión

Puntos en el brazo de control

Vamos a empezar con una figura con cuatro puntos de control, A, B, C y D, después usar la subdivisión con pesos de left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis.

Subdivisión 1

Primero, agregamos puntos medios a lo largo de cada arista. Después cada punto se mueve al promedio de su posición actual y la posición del punto que está junto a él en la dirección de las manecillas del reloj.
Por ejemplo, creamos un punto medio, M, entre A y B:
M, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, A, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, B.
Después, el punto en A se mueve a la posición a la mitad del camino entre A y M (indicado con una flecha rosa). Si llamamos a este punto P:
P=12A+12M.P=12A+12(12A+12B).P=12A+14A+14B.P=34A+14B.\begin{aligned} P &= \dfrac{1}{2}A + \dfrac{1}{2}M. \\ \\ P &= \dfrac{1}{2}A + \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}A + \dfrac{1}{2}B\right). \\ \\ P &= \dfrac{1}{2}A + \dfrac{1}{4}A + \dfrac{1}{4}B. \\ \\ P &=\dfrac{3}{4}A + \dfrac{1}{4}B. \end{aligned}

Subdivisión 2

Luego ejecutamos otra vez el algoritmo de subdivisión, agregando puntos medios, después moviendo cada punto al promedio de su posición actual y la del punto junto a él en la dirección de las manecillas del reloj.
¿Cuál es la posición del punto indicado por la flecha rosa en términos de A y B?
El punto es el promedio de start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, A, plus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, B y start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, A, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, B.

Subdivisión 3

Cuando aplicamos de nuevo la subdivisión, ¿cuál es la posición del punto indicado por la flecha rosa en términos de A y B?

Más pasos de la subdivisión

Si ejecutamos la subdivisión n veces, ¿cuál es la posición del punto en el brazo de control en términos de A, B y n?
Observa que los denominadores son una potencia de 2 y los numeradores son cercanos a una potencia de 2.

Si ejecutamos la subdivisión un número infinito de veces, ¿cuál sería la posición del punto en el brazo de control en términos de A y B?

Desafío extra

¿Puedes encontrar ecuaciones para otros puntos en la figura después de ejecutar la subdivisión n veces?