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Gráficas de posición para el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV o MRUA)

Transcripción del video

Bien, en este video vamos a hablar de las  gráficas de posición para el movimiento rectilíneo   uniformemente variado, que también conocemos como  movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.   Son dos formas de llamar al mismo concepto,  como ocurre con frecuencia en la ciencia o en   otras actividades que hacemos. Y vamos a empezar  recordando cuál es la expresión matemática para   este tipo de movimiento, y es: la posición x de un  móvil en cualquier momento, es la posición inicial   x₀ + la velocidad inicial de subíndice 0 (v₀),  multiplicada por el tiempo t más un medio (1/2) de   la aceleración por el tiempo t al cuadrado (t²).  En este caso estamos hablando de movimiento   rectilíneo, un tipo de movimiento particular  en una sola dimensión sobre una línea recta   que puede ser vertical u horizontal, y lo hacemos  así en los cursos de Física para presentarlo de la   manera más simple. Es una buena idea simplificada  lo que estamos estudiando para entenderlo mejor,   y también mencionamos que estamos hablando de  un móvil, y nos referimos o llamamos móvil a   un objeto que se mueve, un objeto en movimiento  que queremos estudiar. No creas que esa palabra   sólo se usa para los teléfonos, los objetos  se pueden mover de distintas maneras. Cuando   caminas con un paso regular, podemos decir que  la velocidad es constante y que avanzas la misma   distancia en el mismo lapso de tiempo: 1, 2, 3,  4. Pero este ejemplo corresponde a un movimiento   rectilíneo uniforme con velocidad constante; si  tenemos velocidad constante, no hay aceleración.   Recuerda que sólo hay aceleración cuando cambia  la magnitud o la dirección de la velocidad. El   movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es  un movimiento con aceleración constante. Podemos   pensar en un objeto que cae en la Tierra, en  donde la aceleración gravitacional es constante,   o un automóvil que acelera de forma constante  utilizando su motor. Cuando hablamos de gráficas   de posición contra tiempo, utilizamos ejes  coordenados en los que normalmente ponemos   el tiempo en el eje horizontal y la posición  en el eje vertical, como los tenemos aquí,   y vamos a hacer gráficas con la expresión para  el movimiento rectilíneo uniformemente variado,   es decir, esta expresión. Y ¿esta expresión nos  recuerda algo?, ¿se parece a alguna expresión   que ya conocemos? Sí, ya hemos visto este tipo  de expresión en nuestros videos de álgebra,   y corresponde a una ecuación de segundo grado, una  cuadrática, ya que tiene la forma ax² + bx + c. Si   esto no te suena familiar, te invito a que revises  los videos de cuadráticas en Khan Academy. Ya   sabemos que las gráficas de las cuadráticas son  parábolas, por lo que las gráficas del movimiento   rectilíneo uniformemente variado serán un brazo de  una parábola. Es un buen momento de preguntarnos   ¿cómo se verá la gráfica en algunos ejemplos  concretos?, ¿cómo cambia la gráfica si variamos   la aceleración?, ¿qué pasa si la aceleración  es positiva?, ¿qué pasa si es negativa?   Vamos a hacer algunos ejemplos utilizando una  calculadora gráfica; ésta es una herramienta   muy poderosa que te invito a utilizar. Yo voy a  usar Desmos, que es un excelente sitio web. Ya   tengo preparada una hoja con la expresión para  el movimiento rectilíneo uniformemente variado,   también tenemos los ejes coordenados, el tiempo t  está en el eje horizontal y la posición x está en   el eje vertical, y también puse unos deslizadores  que controlan los valores de la posición inicial   x₀, la velocidad inicial v₀ y la aceleración  a. Te propongo que hagamos varias gráficas para   distintos valores en nuestra expresión, pero  empecemos con algunos valores que nos permitan   realizar los cálculos con facilidad. El primer  ejemplo será con una posición inicial x₀ = 0,   velocidad inicial v₀ = 0 y aceleración  constante igual a 2m/s². Sensacional. Lo   primero que podemos observar es que el brazo de  la parábola se extiende hacia arriba, el móvil   va recorriendo mayor distancia en cada intervalo  de tiempo, pero vamos a usar la gráfica para saber   la posición del móvil en cada momento. Veamos:  en el primer segundo el móvil avanzó 1 metro;   en el segundo segundo avanzó 3 metros más, pasó de  1 a 4; en el tercer segundo avanzó 5 metros más,   de 4 a 9, y en el cuarto segundo avanzó 7  metros más, de 9 a 16 metros, y así seguirá   incrementando su posición con el tiempo de acuerdo  al comportamiento de las ecuaciones cuadráticas.   ¿Qué es lo que está pasando? En cada intervalo de  tiempo aumenta la distancia que recorre el móvil,   se está moviendo más rápido, su velocidad aumenta  debido a la aceleración positiva. Escogí estos   valores en particular para la posición inicial  velocidad inicial y aceleración constante   porque podemos hacer los cálculos con facilidad y  comprobar lo que muestra la gráfica. Bueno, aparte   que otra ventaja que tenemos con esta hoja, es  que nos muestra también una tabla con los cálculos   para algunos puntos de la gráfica. Veamos, en este  caso, tanto la posición inicial como la velocidad   inicial son cero, así que estos términos se  cancelan; para el tiempo t = 0, este término es 0,   1/2 a por cero es cero y el resultado es cero.  Si t = 1, entonces un medio de a, que es dos,   resulta en 1, y 1² es uno, uno por uno es uno, y  es lo que tenemos aquí. Si t = 2, entonces 1/2a,   que es 2, resulta en 1 y 2² es 4, 4 • 1 es 4, y  es lo que tenemos aquí. Parece que todo funciona.   Podríamos seguir así con todos los valores de t.  Hagamos otro ejemplo. Vamos a ver qué pasa ahora   si cambiamos la posición inicial de 0 a 20 metros.  Primero reflexionemos qué estamos haciendo:   tenemos la misma aceleración constante a de 2  metros sobre segundo al cuadrado y la velocidad   inicial sigue siendo 0, la posición inicial cambió  de 0 a 20, pero la posición inicial no afecta la   aceleración ni velocidad del movimiento, así  que observamos cómo la gráfica subió en el   eje vertical, justo como lo esperaríamos. Y si  pensamos un poco más, la posición tendrá que   cambiar en esa misma cantidad para cada uno de los  puntos de la gráfica. Si observamos la gráfica y   la tabla con los cálculos, podemos apreciar que  ocurrió lo que esperábamos: todos los valores   para la posición se desplazaron 20 metros,  y podemos usar la gráfica para encontrar la   posición del móvil en cada momento; en el segundo  0 el móvil está en 20 metros; la posición inicial   en el segundo 1 está en 21, cambió en 1 metro; en  el segundo número 2 pasó a la posición 24 metros,   incrementó en 3 metros; en el segundo número  3 está en 29 metros, con un incremento de 5,   y así podríamos seguir y seguir. Muy bien.  En estos ejemplos que hemos estado haciendo,   la aceleración va en el mismo sentido que el  movimiento: hemos usado una aceleración positiva.   ¿Pero qué pasará si usamos una aceleración  negativa? La aceleración negativa va en sentido   contrario. Veamos qué pasa. Vamos a imaginar que  lanzamos una pelota hacia arriba desde el suelo,   como cuando jugamos con una pelota, y esta vez  vamos a usar una aceleración de -2m/s². Otra   vez estoy escogiendo valores que faciliten  los cálculos en la expresión que tenemos.   Imaginemos que este es un planeta especial con  una aceleración gravitacional de -2m/s². Dijimos   que estamos lanzando una pelota hacia arriba, así  que necesitamos una velocidad inicial de 10 metros   sobre segundo, y el lanzamiento está ocurriendo  desde el suelo, así que la posición inicial es 0.   ¿Qué grafica obtenemos ahora? Bueno, justo lo que  esperábamos: una parábola que abre hacia abajo.   Vamos a analizar algunos puntos de la gráfica.  Ahora podemos ver que en el segundo 0, al inicio,   la posición es 0: estamos en el suelo; en el  segundo 1 la pelota alcanza una posición altura   de 9 metros. !Wow, va rápido esa pelota! En el  segundo 2, incrementó 7 metros hasta la posición   de 16 metros a partir del suelo, y en el segundo  número 3 el incremento fue de 5 metros. Vemos con   cuidado cómo ha sido el cambio de posición  en cada segundo: primer segundo, 9 metros;   segundo 2, 7 metros; tercer segundo, 5 metros;  en el cuarto podemos ver que es de 3 metros,   y en el quinto segundo es de 1 metro. Por lo que  esta vez, en este caso que tenemos aceleración   negativa, el móvil se desplaza menos en cada  unidad de tiempo, eso es lo que esperábamos:   la aceleración negativa está en dirección  contraria al movimiento y produce un cambio de   posición menor en cada unidad de tiempo. En cada  segundo el móvil inicia con una velocidad inicial   y se va reduciendo en cada unidad de tiempo, la  velocidad del móvil disminuye cada vez más lento   y su cambio de posición es menor. Para finalizar,  utilizando la gráfica, podemos saber cuánto tiempo   le tomará al móvil llegar a cualquier posición.  Por ejemplo, para que la pelota de este ejemplo   llegue a la posición de 25 metros, en este caso es  la altura ya que lanzamos hacia arriba, buscamos   el punto en la gráfica que está en el valor de 25,  en el eje vertical, la posición, y podemos ver que   la coordenada horizontal de ese punto corresponde  a 5 segundos, es decir, le tomó 5 segundos al   móvil para llegar a una altura de 25 metros.  Un móvil con una velocidad inicial de 10 metros   sobre segundo y una aceleración de -2m/s², que en  este caso sería la gravedad, o un valor especial   que le dimos para este ejemplo, y que es lanzado  hacia arriba. Veamos otro punto más, ¿qué tal el   que se encuentra en la posición a 16 metros?  Bueno, pues es éste que está aquí, y podemos   observar que su coordenada horizontal, el tiempo,  es de 2 segundos, así que a este móvil, con estas   condiciones, tardó 2 segundos para llegar a 16  metros. Muy bien, nos vemos en el siguiente video.