Demostración del ángulo de enlace tetraédrico

a la izquierda tenemos la estructura de puntos del metano que como vimos en uno de estos vídeos es un carbono híbrido sp3 y eso lo que significa es que esta molécula de metano tiene una estructura te trae drica ahora es muy difícil tratar de ver un tetraedro en una estructura de puntos de louis por lo que traje este dibujo por aquí este dibujo tridimensional en el que se puede ver más fácilmente la estructura de tetraedro que tiene el metano si queremos ver las caras de este tetraedro pues podemos empezar por unir todos estos hidrógenos y entonces aquí tenemos una de las caras del tetraedro para ver otra de las caras podemos unir estos tres hidrógenos construyendo la base y finalmente para terminar de construir el tetraedro y ver las otras dos caras que damos tenemos que unir esta arista y listo ahí está nuestro tetraedro ahora algo que nos interesa muchísimo es cuál es el ángulo de enlace y eso es cuál es este ángulo de aquí ok entre este hidrógeno este carbono y este otro hidrógeno y bueno resulta que ese ángulo es de 109.5 grados ahora este no es el único ángulo de enlace también está el ángulo de enlace entre este hidrógeno este carbono y este otro hidrógeno o sea este ángulo que también mide ciento 9.5 grados al igual que este otro ángulo y el ángulo entre este hidrógeno al carbono y cada uno de estos dos hidrógenos todos miden ciento 9.5 grados y a continuación vamos a ver una demostración de este hecho pero para eso necesito sacar este otro modelo que se encuentra por acá una muy forma fácil de demostrar que el ángulo de enlace de 600 9.5 grados es tomar nuestro tetraedro un poquito y ponerlo en un eje cartesiano ok tenemos aquí el eje x luego por aquí tenemos el elche y el eje z y aquí en el mero centro en el 0 0 0 colocamos el carbono y entonces lo único que nos falta es colocar en cuatro puntos a los cuatro hidrógenos en realidad podemos poner a esos cuatro hidrógenos en cualesquiera cuatro puntos pero tienen que cumplir con dos condiciones una es que esos cuatro hidrógenos tienen que estar a la misma distancia del carbono y la otra condición es que estos cuatro hidrógenos tienen que tener la misma distancia entre ellos si cumplimos esas dos condiciones ya tenemos un tetraedro entonces pues vamos a poner aquí unos puntos que utilizaron mis alumnos en una de sus tareas decidieron que este hidrógeno iba a estar en el punto raíz de 210 y bueno mis alumnos escogieron este después de hacer muchas cuentas porque este punto junto con los otros que voy a poner hacen que la molécula esté colocada de una forma muy simétrica y entonces sea más fácil calcular estos ángulos de enlace no vamos a hacer todas las cuentas aquí pero tú podrías hacerlas en algún otro momento entonces otro punto este punto de aquí es el punto menos raíz de 2 10 este otro punto de aquí es el punto cero menos 1 y la is de 2 este punto que está como que alejado hacia el fondo es el punto 0 - 1 - raíz de 2 si quieres puedes ponerle una pausa y calcular que todos estos puntos se encuentran a la misma distancia los unos de los otros y a la misma distancia del carbono pero bueno continuamos y lo que nos interesa es calcular este ángulo de enlace sin embargo ese ángulo todavía no lo podemos calcular directamente lo que sí podemos hacer es calcular este ángulo de aquí así es que a este ángulo le vamos a llamar el ángulo theta y resulta que como la longitud de este lado es igual a la longitud de este lado y lo mismo sucede con estos dos lados entonces este ángulo y este ángulo son exactamente iguales pero bueno calculemos el ángulo theta podemos calcular este ángulo porque este cateto de este triángulo mide 1 y este cateto de este triángulo mide raíz de 2 y entonces sabemos cuál es la tangente del ángulo theta porque la tangente de un ángulo es cateto opuesto entre acá yacente así es que tenemos cateto opuesto entre cateto adyacente raíz de 2 y ya que tenemos la tangente de un ángulo que en este caso es uno entre raíz de dos lo único que tenemos que hacer es sacar la inversa de la función tangente que a veces se le llama arco tangente oa veces simplemente se le pone el nombre de la función tangente a la menos uno de la tangente del ángulo que en este caso es uno entre raíz de dos sabemos que la inversa de la tangente de uno entre raíz de dos es el ángulo que estamos buscando así es que sacamos nuestra calculadora tenemos el 2 sacamos la raíz colocamos 1 entre lo que tenemos y hacemos y sacamos la tangente inversa y nos queda 35.27 si redondeamos a los centésimas entonces teta es aproximadamente 35.27 s es este ángulo de aquí y ahora nos interesa sacar este ángulo de acá por lo que pensamos en todo este ángulo de aquí que sabemos que es 180 grados y a todo ese ángulo le quitamos dos veces el ángulo de tangente osea ponemos menos 2 x 35.27 y lo que nos queda es aproximadamente ciento 9.5 grados entonces el ángulo de enlace entre estos hidrógenos y el carbono es de 109 punto 5 grados