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Curso: 5º Secundaria CyT > Unidad 3

Lección 3: Fricción y planos inclinados

¿Qué son los planos inclinados?

Por lo general, las superficies no son perfectamente horizontales. ¡Aprende como lidiar con pendientes!

¿Qué son los planos inclinados?

Las resbaladillas de los parques, los caminos empinados y las rampas de los camiones de carga son todos ejemplos de planos inclinados. Las pendientes o los planos inclinados son superficies diagonales sobre las cuales los objetos pueden estar en reposo, deslizarse o rodar hacia arriba o hacia abajo.

Los planos inclinados son útiles ya que pueden reducir la cantidad de fuerza requerida para mover un objeto verticalmente. Son considerados una de las seis máquinas clásicas simples.

Las seis máquinas clásicas simples son dispositivos mecánicos que pueden darle a uno una ventaja mecánica (es decir, reducir la fuerza requerida para realizar una tarea). Las seis máquinas simples son la palanca, el eje y la rueda, la polea, el plano inclinado, la cuña y el tornillo.

Las máquinas simples son fantásticas porque pueden reducir la magnitud de la fuerza requerida para mover un objeto. Por ejemplo, la rampa de carga de un camión de carga (es decir, un plano inclinado) puede reducir la cantidad de fuerza que debes aplicar para mover verticalmente una masa pesada. Esto puede sonar demasiado bueno para ser verdad, pero hay un pequeño inconveniente. La fuerza que tendrás que aplicar disminuirá (al usar la rampa), pero la distancia sobre la que tendrás que aplicarla aumentará.

¿Cómo usamos la segunda ley de Newton para lidiar con los planos inclinados?

En la mayoría de los casos, resolvemos problemas que involucran fuerzas al usar la segunda ley de Newton para las direcciones vertical y horizontal. Pero para los planos inclinados, típicamente estamos preocupados con el movimiento paralelo a la superficie del plano inclinado, así que a menudo es más útil resolver la segunda ley de Newton para las direcciones paralela y perpendicular a la superficie inclinada.

Esto significa que típicamente estaremos usando la segunda ley de Newton para las direcciones perpendicular $⊥$ ‍ y paralela $∥$ ‍ a la superficie del plano inclinado.

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m}

Ya que la masa a menudo se desliza paralelamente a la superficie del plano inclinado y no se mueve perpendicularmente a esta, podemos casi siempre suponer que

a_{⊥} = 0

¿Cómo encontramos las componentes $⊥$ ‍ y $∥$ ‍ de la fuerza de gravedad?

Dado que estaremos usando la segunda ley de Newton para las direcciones perpendicular y paralela a la superficie del plano inclinado, vamos a necesitar las componentes de la fuerza de gravedad en estas direcciones.

Las componentes de la fuerza de gravedad se muestran en el siguiente diagrama. Ten cuidado, la gente frecuentemente se confunde al determinar si debe usar el

seno

o el

coseno

para una componente dada.

Las personas a menudo encuentran difícil entender cómo es que la gravedad se separa en sus componentes perpendicular y paralela, así que lo explicaremos un paso a la vez.

Observa cómo la fuerza de gravedad $F_{g} = m g$ ‍ apunta directo hacia abajo.

La fuerza de gravedad se puede separar en componentes $F_{g ∥}$ ‍ y $F_{g ⊥}$ ‍, de tal manera que sean paralela y perpendicular a la superficie del plano inclinado, respectivamente.

El ángulo superior izquierdo $ϕ$ ‍ del plano inclinado es el mismo que el ángulo $ϕ$ ‍ entre la componente paralela de la fuerza de gravedad $F_{g ∥}$ ‍ y la fuerza total de gravedad $m g$ ‍. Observa que en realidad no nos importa este ángulo, pero nos permite encontrar el tercer ángulo en el siguiente paso (que sí nos importa).

Dos de los ángulos del plano inclinado (el ángulo recto y $ϕ$ ‍) son los mismos que los ángulos del triángulo que forman las componentes de la fuerza de gravedad. El ángulo inferior entre $m g$ ‍ y $F_{g ⊥}$ ‍ debe ser el mismo que el ángulo inferior derecho del plano inclinado $θ$ ‍, pues todos los triángulos rectángulos tienen ángulos que suman $180^{o}$ ‍ (es decir, si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos en común, también deben de tener el tercero en común).

Ahora que conocemos el ángulo inferior entre $m g$ ‍ y $F_{g ⊥}$ ‍, podemos usar la definición del $seno$ ‍ para obtener,

sin θ = \frac{cateto opuesto}{hipotenusa} = \frac{F_{g ∥}}{m g}

O, al resolver para

F_{g ∥}

, obtenemos,

F_{g ∥} = m g sin θ

Del mismo modo, si usamos la definición del

coseno

, obtenemos,

cos θ = \frac{cateto adyacente}{hipotenusa} = \frac{F_{g ⊥}}{m g}

O, al resolver para

F_{g ⊥}

, obtenemos,

F_{g ⊥} = m g cos θ

¿Cuál es la fuerza normal $F_{N}$ ‍ para un objeto sobre un plano inclinado?

La fuerza normal

F_{N}

siempre es perpendicular a la superficie que ejerce la fuerza. Así que un plano inclinado ejercerá una fuerza normal perpendicular a su superficie.

Para que no haya aceleración perpendicular a la superficie del plano inclinado, las fuerzas deben estar balanceadas en esta dirección. Si miramos el diagrama de fuerzas mostrado a continuación, vemos que para asegurar que la fuerza neta en la dirección perpendicular sea igual a cero, la fuerza normal debe ser igual a la componente perpendicular de la fuerza de gravedad.

En otras palabras, para un objeto que se encuentra ya sea en reposo o deslizándose sobre un plano inclinado,

F_{N} = m g cos θ

Podemos usar la segunda ley de Newton para la dirección perpendicular a la superficie del plano inclinado y obtener,

a_{⊥} = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (usa la segunda ley de Newton para la dirección perpendicular)

0 = \frac{Σ F_{⊥}}{m} (a_{⊥} es cero pues no hay movimiento en la dirección perpendicular a la superficie)

0 = \frac{F_{N} - m g cos θ}{m} (sustituye F_{N} y la componente perpendicular de F_{g})

0 = F_{N} - m g cos θ (multiplica ambos lados por m)

F_{N} = m g cos θ (resuelve para F_{N})

Esto muestra que la fuerza normal en un plano inclinado es igual a

m g cos θ

(suponiendo que no haya otras fuerzas perpendiculares presentes).

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran planos inclinados?

Ejemplo 1: un trineo deslizándose en la nieve

Un niño se desliza sobre un trineo a través de una colina nevada. El ángulo que hace la colina con respecto a la horizontal es de

θ = 30^{o}

y el coeficiente de fricción dinámica entre el trineo y la colina es

μ_{d} = 0.150

. La masa combinada del niño y el trineo es de

65.0 kg

¿Cuál es la aceleración del trineo cuesta abajo?

Empezaremos por dibujar el diagrama de fuerzas.

Podemos usar la segunda ley de Newton en la dirección paralela al plano inclinado para obtener,

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (usa la segunda ley de Newton para la dirección paralela)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - F_{d}}{m} (sustituye las fuerzas paralelas)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{d} F_{N}}{m} (sustituye la fórmula para la fuerza de fricción dinámica)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{d} (m g cos θ)}{m} (sustituye m g cos θ para la fuerza normal F_{N})

a_{∥} = \frac{m g sin θ - μ_{d} (m g cos θ)}{m} (cancela la masa del numerador con la del denominador)

a_{∥} = g sin θ - μ_{d} (g cos θ) (saborea el asombro cuando te des cuenta de que la aceleración no depende de la masa)

a_{∥} = (9.8 \frac{m}{s^{2}}) sin 30^{o} - (0.150) (9.8 \frac{m}{s^{2}}) cos 30^{o} (sustituye los valores numéricos)

a_{∥} = 3.63 \frac{m}{s^{2}} (calcula y celebra)

Ejemplo 2: una cochera empinada

Una persona está construyendo una casa y quiere saber qué tan empinada puede hacer su cochera de tal forma que, cuando se estacione, su automóvil no resbale. Sabe que el coeficiente de fricción estática entre las llantas y el concreto es de

0.75

¿Cuál es el ángulo máximo, medido desde la horizontal, con el que la persona puede hacer su cochera sin que su automóvil estacionado resbale?

Empezaremos por usar la segunda ley de Newton para la dirección paralela.

a_{∥} = \frac{Σ F_{∥}}{m} (usa la segunda ley de Newton para la dirección paralela)

a_{∥} = \frac{m g sin θ - F_{e}}{m} (sustituye las fuerzas paralelas de gravedad y fricción estática)

0 = \frac{m g sin θ - F_{e}}{m} (como el automóvil no se está deslizando, la aceleración es cero)

0 = m g sin θ - F_{e} (multiplica ambos lados por m)

0 = m g sin θ - F_{e máx} (supón que F_{e} es igual a su valor máximo F_{e máx})

La fuerza de fricción estática se hará más y más grande conforme incrementes la pendiente de la cochera. Como queremos determinar el ángulo máximo con el que podemos construir la cochera sin que el automóvil se deslice, vamos a suponer que ya alcanzamos el ángulo para el cual la fuerza de fricción estática es tan grande como lo permiten la cantidad dada de fuerza normal y el coeficiente estático de fricción.

Necesitamos hacer esto para poder sustituir en