¿Qué son las componentes de velocidad?

El movimiento bidimensional es más complicado que el movimiento unidimensional, ya que las velocidades pueden apuntar en direcciones diagonales. Por ejemplo, una bola de béisbol se podría estar moviendo tanto horizontal como verticalmente al mismo tiempo con una velocidad diagonal $v$v. Para simplificar nuestros cálculos, descomponemos el vector de velocidad $v$v de la bola de béisbol en dos direcciones separadas: la velocidad horizontal, $v_x$v, start subscript, x, end subscript, y la velocidad vertical, $v_y$v, start subscript, y, end subscript.

Tratar de abordar las direcciones horizontales y verticales de una bola de béisbol en una sola ecuación es difícil; es mejor adoptar un enfoque de "divide y vencerás".

Separar la velocidad diagonal $v$v en las componentes horizontal $v_x$v, start subscript, x, end subscript y vertical $v_y$v, start subscript, y, end subscript nos permite tratar con cada dirección de manera separada. Esencialmente, seremos capaces de convertir un solo problema difícil bidimensional en dos más fáciles en una dimensión. El truco de separar vectores en componentes funciona aún si el vector no es de velocidad, por ejemplo, si es un vector de fuerza, momento o campo eléctrico. De hecho, vas a usar este truco en física una y otra vez, así que es importante que te vuelvas realmente bueno en lidiar con componentes vectoriales lo antes posible.

Antes de que hablemos acerca de descomponer vectores, debemos decir que la trigonometría ya nos da la habilidad de relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente, y uno de sus ángulos, $\theta$theta, como se muestra a continuación.

Cuando descomponemos cualquier vector diagonal en dos componentes perpendiculares, el vector total y sus componentes —$v, v_y, v_x$v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript— forman un triángulo rectángulo. Debido a esto, podemos aplicarle las mismas reglas trigonométricas a la magnitud de un vector de velocidad y a sus componentes, como se puede ver a continuación. Ten en cuenta que se trata a $v_x$v, start subscript, x, end subscript como el lado adyacente, a $v_y$v, start subscript, y, end subscript como el opuesto y a $v$v como la hipotenusa.

Observa que las velocidades $v$v en estas fórmulas se refieren a las magnitudes del vector de velocidad total, es decir, la rapidez total, y por lo tanto nunca pueden ser negativas. Las componentes individuales $v_x$v, start subscript, x, end subscript y $v_y$v, start subscript, y, end subscript pueden ser negativas si apuntan en dirección negativa. La convención es que la izquierda es negativa para la dirección horizontal, $x$x, y abajo es negativa para la dirección vertical, $y$y.

En secciones anteriores vimos cómo la magnitud y el ángulo de un vector pueden descomponerse en sus componentes horizontal y vertical. Pero, ¿qué pasa si empiezas con ciertas componentes de velocidad dadas: $v_y$v, start subscript, y, end subscript y $v_x$v, start subscript, x, end subscript? ¿Cómo podrías usar las componentes para encontrar la magnitud $v$v y el ángulo $\theta$theta del vector de velocidad total?

Encontrar la magnitud del vector de velocidad total no es muy difícil, ya que para cualquier triángulo rectángulo las longitudes de los catetos y de la hipotenusa estarán relacionadas por el teorema de Pitágoras.

Al sacar la raíz cuadrada obtenemos la magnitud del vector de velocidad total en términos de sus componentes.

También, si conocemos ambas componentes del vector total, podemos encontrar su ángulo usando $\text{tan}\theta$start text, t, a, n, end text, theta.

Al sacar la inversa de la tangente obtenemos el ángulo del vector de velocidad total en términos de sus componentes.

Cuando usamos $\theta=\tan^{-1}(\dfrac{{v_y}}{{v_x}})$theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, el hecho de que ponemos la componente $v_y$v, start subscript, y, end subscript arriba como el cateto opuesto y la componente $v_x$v, start subscript, x, end subscript abajo como el cateto adyacente, significa que estamos midiendo el ángulo desde el eje horizontal. Parece que descubrir cómo dibujar el ángulo puede ser confuso, pero aquí hay dos buenos consejos:

Suponiendo que hemos elegido las direcciones derecha y arriba como positivas, si la componente horizontal $v_x$v, start subscript, x, end subscript es positiva, el vector apunta hacia la derecha. Si la componente horizontal $v_x$v, start subscript, x, end subscript es negativa, el vector apunta hacia la izquierda.

De nuevo, suponiendo que hemos elegido las direcciones derecha y arriba como positivas, si la componente horizontal $v_y$v, start subscript, y, end subscript es positiva, el vector apunta hacia arriba. Si la componente vertical $v_y$v, start subscript, y, end subscript es negativa, el vector apunta hacia abajo.

Así que, por ejemplo, si las componentes de un vector son $v_x=-12 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text y $v_y=10 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text, el vector debe apuntar hacia la izquierda porque $v_x$v, start subscript, x, end subscript es negativa, y hacia arriba porque $v_y$v, start subscript, y, end subscript es positiva.

Una pelota de futbol se patea hacia arriba y a la derecha a un ángulo de 30$^\circ$degrees con una rapidez de $24.3 \text{ m/s}$24, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text como se muestra a continuación.

Para encontrar la componente vertical de la velocidad usaremos $sin\theta=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{v_y}{v}$s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction. La hipotenusa es la magnitud de la velocidad $v$v, 24.3 m/s, y el cateto opuesto al ángulo de 30$^\circ$degrees es $v_y$v, start subscript, y, end subscript.

Para encontrar la componente horizontal de la velocidad usaremos $\cos\theta=\dfrac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\dfrac{v_x}{v}$cosine, theta, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction.

Una gaviota enojada está volando sobre Seattle con una componente horizontal de velocidad $v_x=14.6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text y una componente vertical de velocidad de $v_y=-8.62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text.

Usaremos el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud del vector de velocidad total.

Para encontrar el ángulo usaremos la definición de la $\text{tangente}$start text, t, a, n, g, e, n, t, e, end text, pero como ya conocemos $v$v, podríamos haber usado el $\text{seno}$start text, s, e, n, o, end text o el $\text{coseno}$start text, c, o, s, e, n, o, end text.

Como la componente vertical es $v_y=-8.62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text, sabemos que el vector se dirige hacia abajo y como $v_x=14.6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text, sabemos que el vector se dirige hacia la derecha. Entonces, dibujaremos el vector en el cuarto cuadrante.

La gaviota se mueve a $17.0 \text{ m/s}$17, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text en un ángulo de $30.6^\circ$30, point, 6, degrees por debajo de la horizontal.