Calcular la altura usando la energía

Tengo un resorte sin comprimir aquí y tiene una  constante de resorte de cuatro Newton por metro.  Luego tomo una masa de 10 gramos, una esfera  de 10 gramos, la coloco en la parte superior   del resorte y la empujo hacia abajo para  comprimir ese resorte 10 centímetros. Así que llamemos a este escenario,  donde nuestra masa está encima de   este resorte comprimido, escenario uno. Luego soltamos el resorte y entonces el   resorte lanza esta masa al aire,  la cual alcanza una altura máxima.  Y llamemos a ese escenario escenario dos,  cuando alcanzamos esta altura máxima. Y mi pregunta para ti es, basado en  toda la información que te he dado aquí,   ¿cuál es esa altura máxima? Te daré una pista.  En lo que tenemos que pensar es en la idea de que la energía se conserva.  La energía total en el escenario uno será  igual a la energía total en el escenario dos.  Así que pausa este video y ve si puedes  averiguar cuál será la altura máxima. Muy bien, ahora trabajemos en esto juntos. Mencioné que la energía total se conservará,   pero ¿de qué estará compuesta esa energía total? Bueno, tendrá algo de energía  potencial y algo de energía cinética.  Entonces, otra manera de considerarlo es  que: la energía potencial en el escenario   uno más la energía cinética en el  escenario uno, debe ser igual a la   energía potencial en el escenario dos más  la energía cinética en el escenario dos. Y podría haber otras energías aquí que podríamos  considerar, como el calor debido a la fricción   con el aire, pero no lo vamos a hacer, vamos  a ignorarlas para simplificar el problema.  Además, podemos suponer que esto está sucediendo  en el vacío, eso podría ayudarnos un poco. Entonces, si pensamos en las energías  potenciales, en realidad, hay dos tipos   de energías potenciales en juego. Hay energía potencial gravitacional,   y energía potencial elástica debido al hecho de  que esta masa está sobre un resorte comprimido. Entonces, la energía potencial gravitacional  será: nuestra masa multiplicada por la fuerza   del campo gravitacional, multiplicada  por la altura en la posición uno.  Y la energía potencial elástica será igual  a: un medio por la constante de resorte,   multiplicada por la compresión que está  soportando ese resorte, al cuadrado.  Y esta es toda nuestra energía  potencial en el escenario uno. Después, sumamos la energía  cinética: un medio por nuestra masa,   multiplicada por la velocidad en  el escenario uno, al cuadrado. Entonces, la suma de las energías  en el escenario 1 será igual a la   suma de las energías en el escenario dos. Es decir, será igual a masa multiplicada por g,   multiplicada por la altura en el escenario  dos, más un medio por la constante de resorte,   multiplicado por cuánto se comprime  ese resorte en el escenario dos,   al cuadrado, más un medio por la masa,  multiplicado por nuestra velocidad  en el escenario dos, al cuadrado. Y solo como recordatorio, lo que tenemos aquí:  es la energía potencial en el escenario dos.  Y la energía cinética corresponde a este término. Ahora bien, la igualdad puede parecer realmente   complicada y abrumadora, pero  podemos simplificarla mucho. Podemos definir este punto  como nuestro punto de partida,   donde: h1 h subíndice uno es igual a cero, lo que simplificará la ecuación dramáticamente.  Porque si h1 es cero, entonces este  término (mgh1) será igual a cero.   También sabemos que la velocidad es cero en nuestro escenario inicial: 12 mv12.  Entonces eso haría que la  energía cinética fuera cero. Entonces, el lado izquierdo de la ecuación  se trata solamente de energía potencial   elástica: 12 k∆x12 . Es decir, será un  medio por nuestra constante de resorte,   multiplicada por cuánto hemos comprimido el  resorte en el escenario uno, al cuadrado. Y luego, en el lado derecho, ¿qué está pasando? Bueno, en este escenario, nuestro resorte ya   no está comprimido. Entonces, la energía   potencial elástica ahora es cero. ¿Y qué pasa con la energía cinética?  A la altura máxima, la esfera está, de hecho,  estacionaria por un instante, por un momento,   justo en el que pasa de subir a empezar a bajar. Por lo tanto esta velocidad, v subíndice dos es   cero, como en el caso de v subíndice uno. En  consecuencia, este término también es cero.  Encontramos entonces que en el escenario  uno la energía potencial elástica inicial   será igual a la energía potencial  gravitacional, del escenario dos.  Por lo que solo tenemos que resolver  para h2, que será nuestra altura máxima. Para hacer esto, podemos  dividir ambos lados por mg  y obtenemos que h subíndice dos, es igual  a un medio por k por delta x al cuadrado,   todo dividido entre mg. Y ya sabemos cuál es el   valor numérico de todos los términos, los  cuales escribiré ahora con las unidades. Tenemos entonces un medio por la constante de  resorte, que es de cuatro Newtons por metro,   multiplicado por el cambio en x  que es igual a de 10 centímetros,  pero debemos tener mucho cuidado. No podemos simplemente sustituir 10   centímetros y luego elevarlo al cuadrado.  Es necesario que las unidades coincidan.  Entonces, no podemos utilizar las  unidades centímetros y gramos,   todos los términos de la ecuación deben  expresarse en metros y kilogramos.  Por lo tanto, convertiremos estos 10  centímetros a metros. 10 centímetros son   equivalentes a cero punto uno metros. De esta forma multiplicamos por 0.1.  Este valor representa cuánto se comprime  el resorte y corresponde a delta x   expresado en metros, el cual de acuerdo a la  ecuación, se tiene que elevar al cuadrado.  Dividiremos la multiplicación de estos términos  sobre la masa, pero ¿cuál es nuestra masa?  Una vez más, es necesario expresar  la masa en kilogramos, no en gramos.  La masa entonces es igual a cero punto  cero uno kilogramos, multiplicados por g,   que es 9.8 metros por segundo al cuadrado. Cuando realizamos el cálculo,   obtenemos que h subíndice 2 es  aproximadamente cero punto dos metros. Y todas las unidades en la ecuación funcionan,  porque los Newtons son kilogramos por metros   por segundo al cuadrado. Entonces ambos kilogramos   en la fórmula se cancelan. De igual manera, puedes ver   que los segundos al cuadrado se cancelarán. Y, después, ambos metros se cancelarán también.  Quedando así, metros al  cuadrado divididos por metros,  lo que finalmente es igual a metros. Y hemos terminado.  Utilizando sólo nuestro conocimiento  de la conservación de la energía,   determinamos que la altura máxima que alcanza  la esfera es de aproximadamente 0.2 metros.