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Transcripción del video

vimos que podemos representar el movimiento de un oscilador armónico simple en una gráfica de posición horizontal que luce bastante bien y que la amplitud de ese movimiento el máximo desplazamiento de la posición de equilibrio en esta gráfica esto se representa el máximo desplazamiento de la posición de equilibrio así y el periodo que le lleva a todo este proceso realizarse t mayúscula es el periodo pues es el periodo en el que se lleva todo este ciclo de pico a pico o de mínimo a mínimo o de cualquier punto a su punto análogo en ese ciclo este es el período t y con una gráfica ya sea de xenón o cosenos podemos representar cualquier movimiento que queramos si tenemos un oscilador con una mayor amplitud podemos imaginar es ir a de esto verticalmente el periodo sería el mismo pero es tiraríamos la amplitud o si tenemos algo con un periodo mayor podemos imaginar que estiramos esto horizontalmente dejando amplitud igual o estirarla en ambas direcciones para representar cualquier oscilador que quieran lo que es bastante genial sin embargo en muchas ocasiones también van a necesitar la ecuación es decir que ecuación describiría esta gráfica bueno antes que nada a qué me refiero con la ecuación de esta gráfica esta gráfica representa la posición horizontal x que significa que tanto desplazamos a la masa de su posición de equilibrio como una función del tiempo así que queremos una función que nos diga la posición de la masa como función del tiempo cuál sería esta ecuación va a ser una función porque vamos a alimentarla con cualquier tiempo que queramos y la función nos va a regresar la posición de la masa en ese tiempo y la gráfica de esta función nos va a representar la posición de la masa en cualquier momento del tiempo ya que esta gráfica debe ser congruente con lo que nos indica esta función y esta función nos dice la pose la masa en cualquier momento del tiempo como será esta función será un coseno o un seno esa es la primera opción seno o coseno para saber cuál es me fijo en cómo inicia cuando t es igual a 0 mi gráfica comienza en el máximo por lo que voy a elegir coseno ya que el coseno inicia con un máximo y cuando digo que comienza en un máximo es que si ustedes recuerdan de sus clases de trigonometría el coseno de 0 es igual a 1 y ya que esto es lo más grande que puede llegar el coseno el cose no solamente puede ser tan grande como uno el coseno inicia con un máximo cuando x es igual a 0 y esta función de aquí comienza en un máximo cuando t es igual a cero así que voy a usar coseno pero lo tengo que agregar algunos otros elementos el coseno solito no me va a servir ya que el cose no sólo puede ser tan grande como uno y esto de acá tiene que ser tan grande como a cualquier valor que tenga está decir mi oscilador armónico simple no siempre va a tener una amplitud de 1 por lo que necesito aquí una variable que represente la amplitud de este oscilador armónico simple dado para hacer esto menos abstracto digamos que yo estoy jalando hacia atrás esta masa unos 20 centímetros o punto dos metros así que la amplitud para cierto oscilador armónico simple particular es de punto dos metros de manera que esto lo puedo representar aquí con punto dos metros así que esto ni siquiera llega a uno si yo dejara esto con el coseno solito esto sólo podría llegar a un 1 lo cual es mucho ya que el máximo de esto es punto 2 y sin duda ustedes ya se dieron cuenta que puedo multiplicar mi coseno por la amplitud cualquiera que ésta sea porque entonces uno por la amplitud pues me va a dar la amplitud lo que significa que este x solo llega a ser tan grande como a la amplitud que es exactamente lo que queremos quiero que esto sea tan grande como sea la amplitud de este movimiento y nos falta algo más todavía no terminamos y quizás digamos que aquí nos falta poner el coseno de t ya que esto es una función del tiempo queremos poner el tiempo aquí y que esta función no se entregue el valor de la posición es decir que nos indique dónde está si está en punto 2.1 puntos 0 45 o cualquier cosa similar eso es lo que nos debe entregar la función si ponemos t solita no nos va a servir ya que ya que sabemos que el coche no de cero va a ser igual a 1 cuando esté coseno sea igual a 1 otra vez quiere decir que es 2 pi esto si usamos radiales podríamos usar grados si quisiéramos pero la mayoría de los físicos maestros y profesores prefieren usar radiales para este caso así que el coseno de dos pies sería nuevamente igual a 1 ya que es aquí cuando esta función del coche no ha regresado a donde comenzó así que si algo rota con un ángulo de 2 pin va a llegar al punto de inicio otra vez y se repite el ciclo lo que quiere decir que esta función reinicia el ciclo cada dos segundos ya que cuando te es igual a cero la función es 1 y cuando te es igual a 2 para la función vuelve a ser 1 lo que significa que el periodo de coseno de t es 2 espn pero el periodo de la oscilación no necesariamente es 2 pi a menos que tengamos un caso muy especial el periodo es el que tenga que ser digamos que resulta que nuestro periodo es de 6 segundos para este caso particular si esto es de 6 segundos no queremos una función que se reinicie cada vez que te es igual a 2 pi no queremos una función que se reinicie a los 2 segundos en este caso queremos una función que se reinicie a los 6 segundos como hacemos esto bueno pues no podemos tener t aquí si ponemos t aquí ya vimos que el periodo siempre va a ser ya que es aquí cuando el coseno dt se reinicia como vamos a hacer esto pues vamos a ser listos quizá ustedes ya se dieron cuenta de que podemos resolver esto agregando una variable aquí ponemos una variable o mega aquí y esta es la multiplicamos por t y ahora puedo ajustar esta omega a lo que yo quiera si está o mega lago grande o pequeña pues puedo ajustar el periodo de esta función como yo quiera y si son curiosos pueden darse cuenta que esta omega ya la hemos usado antes y en efecto esta omega ya la hemos usado antes como la velocidad angular y recuerden que la velocidad angular es del tate está entre delta t la cantidad de cambio en el ángulo entre la cantidad de cambio en el tiempo lo que quizás piensen no es relevante aquí ya que esta masa nada más se está moviendo adelante y atrás esta masa no está rotando en un círculo sino largo podemos representar procesos repetitivos o procesos cíclicos con un círculo unitario en otras palabras digamos que comenzamos aquí jalamos la masa y en este punto nos detuvimos aquí va a ser t igual a 0 en el momento en el que voy a soltar esta masa crecería justo aquí en mi círculo unitario y después pasa por la posición de equilibrio que sería a un cuarto del ciclo es decir llegamos acá luego llega a este otro extremo en donde se comprime por completo el resorte y estaremos aquí a mitad del ciclo y esto va a regresar a la posición de equilibrio desde la otra dirección lo cual está aquí y luego llegamos al punto inicial por lo que tendremos un ciclo completo y es así como podemos representar procesos cíclicos con un círculo unitario y es así como esto tiene sentido puede parecer abstracto pero realmente es muy útil porque vean lo que podemos hacer y pensamos bueno siquiera podemos definir esto bueno un ciclo en el círculo unitario es dos radiales si estamos usando radiales así que un ciclo va a ser dos pi y cuánto tiempo dura este ciclo pues yo sé que para un oscilador armónico simple nosotros definimos t como el periodo de un ciclo así que tengo dos pi entre t y esto es lo que vamos a poner como argumento del coseno y resulta que esto funciona aún cuando usamos nuestras ideas más sencillas sobre la velocidad angular poner dos pi entre el periodo nos da una función que se reinicia exactamente cuando queremos y quizá esto no nos convence del todo y si ese es el caso no los culpo a mí también me resultó confuso veamos si yo tomo esta función y en lugar de escribir omega nosotros podemos poner omega es la velocidad angular y a veces se le conoce como la frecuencia angular así que las personas pueden usar diferente terminología aquí velocidad angular angular y si tomamos esta velocidad angular o frecuencia angular la ponemos directamente aquí en lugar de omega y después la multiplicamos por t y vamos a ver qué sucede esto es genial así que lo multiplicamos por t que es nuestra variable de minúscula es la variable 2 pi entre t mayúscula es constante y la t mayúscula el periodo va a ser diferente para diferentes osciladores pero para cierto oscilador armónico simple la t mayúscula o el periodo es constante y qué sucede ahora cuando t es igual a cero todo lo de aquí va a ser igual a cero gente podemos poner lo que querramos en nuestra variable y en este caso vamos a ponerla como cero el coseno de cero me da 1 pero ahora qué sucede si pasa todo un ciclo y como valor en mí te pongo mi periodo mi te mayúscula sucede que ésta se va a cancelar con la tf de aquí abajo y nos va a quedar 2 pi como argumento y el coseno de 2 también va a ser 1 por lo que esto va a completar un ciclo cada de mayúscula cada periodo y es justo lo que queremos no queremos algo que siempre tenga 2 pi como periodo y ahora tenemos una función en donde podemos poner cualquiera que sea el periodo aquí abajo de manera que cuando me t minúscula tenga el valor del periodo t mayúscula todo este argumento va a ser igual a 2 pi y al coseno se reinicia a sí mismo por lo que tendremos una gráfica o una función que nos da una gráfica que se reinicien con nuestro periodo t mayúscula que es exactamente lo que queremos en otras palabras para hacer esto menos abstracto tomemos esto para nuestra función particular para nuestros períodos y amplitudes particulares así que yo puedo decir que la gráfica que representa esto o la función que representa esta gráfica en lugar de la pone punto 2 metros apenas me cabe así que voy a poner las unidades abajo x el coseno y recuerden que elegimos el coseno porque es el que comienza en un máximo y esta gráfica comienza en un máximo si hubiera comenzado aquí abajo y luego se fuera hacia arriba hubiera elegido el seno ya que el seno comienza en cero y dos pies entre el periodo reemplazo la t mayúscula con el periodo de esta función con el periodo de este oscilador que es de seis segundos y la t minúscula muchas veces las personas se confunden y no saben qué poner en lugar de la t minúscula aquí no hay que reemplazarla ya que estamos definiendo una función en términos del tiempo por lo que nuestra t minúscula va a ser nuestra variable esta es la variable que tenemos aquí si quisiera saber el valor de la posición de mi masa a los nueve segundos aquí pondría nueve segundos reales a los cálculos de esta función usando los 9 segundos aquí y voy a tener la posición a los 9 segundos o si quisiera la posición a los 12 puntos 0 5 segundos o si quisiera la posición a los 12 puntos 25 segundos aquí pondría a mi 12 puntos 25 segundos en el lugar de la t mayúscula realizaría los cálculos y obtendría la posición de la masa a esos 12 puntos 25 segundos esto es para lo que nos sirve la función y es para esto para lo que nos sirve la función así podemos representar el movimiento de un oscilador armónico simple y me pueden decir oye nos llevó mucho tiempo llegar a esto siempre nos va a llevar tanto tiempo no una vez que nos acostumbremos a trabajar con esto nos va a resultar bastante fácil vamos a deshacernos de esto y se encuentran con esto en un examen o tarea y les piden que hagan una ecuación que describa a este oscilador armónico simple es sencillo lo primero que tienen que hacer es y si van a usarse nuevo coseno y pueden decir a ver no comienza en un máximo y tampoco comienza en un 0 comienza hasta aquí abajo en un mínimo está bien comienza en un mínimo por lo que podemos usar de nuevo el cose no así que x como función del tiempo va a ser igual a cual es la amplitud de aquí es 3 metros nuestra amplitud es de 3 metros ya que este es el desplazamiento máximo de la posición de equilibrio ponemos 3 metros y luego lo multiplicamos por el coseno ya que comienza en un extremo ya sea en un máximo o en un mínimo va a ser el coste no de aquí pongo dos pi entre el periodo y cuál es el periodo de esta gráfica veo la gráfica y me pregunto cuánto tiempo le lleva a reiniciar comenzamos en un mínimo cuánto tiempo le lleva a llegar al siguiente mínimo pues 4 segundos así que mi periodo es de 4 segundos 2 pi entre 4 segundos y pongo mi t minúscula aquí no pongo nada más dejo mi t minúscula ya que éste es mi variable en la que pondré lo que yo quiera para calcular la posición esta es mi variable t de la cual esta x es función pero aún no termino esta sería una gráfica que comienza aquí y baja así esta gráfica comienza aquí abajo pero no se preocupen multiplicamos esto por un signo negativo y convertimos nuestro coseno en un coseno negativo y el coseno negativo comienza aquí tomen en cuenta que nuestra amplitud sigue siendo 3 si les preguntan cuál es la amplitud la amplitud va a ser la magnitud del desplazamiento o el máximo desplazamiento que sigue siendo de 3 metros positivo aún cuando la gráfica comienza aquí abajo simplemente incluimos un negativo extra aquí adelante que va acompañando al coseno para que nos dé el coseno negativo esta es nuestra función así que tengan en mente y recuerden que si comienzan aquí arriba van a usar coseno si comienzan aquí abajo van a usar el cose no negativo si comenzamos aquí y vamos hacia arriba será seno y si comenzamos aquí pero vamos hacia abajo será seno negativo y es así como lucen estas funciones en resumen podemos usar esta ecuación para representar el movimiento de un oscilador armónico simple el cual siempre tendrá un más o menos la amplitud por el coseno o el seno de dos pi entre el periodo multiplicado por el tiempo este dos pi entre el periodo representa la frecuencia angular o velocidad angular y vamos a elegir coseno positivo si comenzamos en un máximo coseno negativo si comenzamos en un mínimo seno positivo si comenzamos en el punto de equilibrio y va hacia arriba o seno negativo si comenzamos en el punto de equilibrio y va hacia abajo