Manejar sistemas (la manera difícil)

este problema es un clásico se lo van a encontrar en casi cualquier libro de física el problema es este si tenemos dos masas que están unidas por una cuerda y esta cuerda pasa por encima de una polea cuál será la aceleración en ambas masas en otras palabras la aceleración de esos tres kilogramos de masa y la aceleración de esta masa de cinco kilogramos y si ustedes están preguntando qué es una polea una polea es esta parte de acá la polea es una pieza de plástico o metal que puede rotar normalmente tiene un canal en ella de manera que la cuerda se coloca ahí y lo que hace es que rota libremente por lo que puede tornar lo que es una tensión horizontal en una tensión vertical del otro lado o viceversa torna fuerzas verticales en fuerzas horizontales y nos permite transformar una fuerza de una dirección a otra dirección y es para esto para lo que nos sirven las poleas puede girar libremente y prácticamente no tiene masa está polea no tiene resistencia al movimiento entonces esta tensión de este lado va a ser igual a la atención de este otro lado esta tensión vertical se transforma sin diluir en la atención horizontal por lo que estos valores serán iguales y esto pasará si esta polea puede moverse libremente y tiene una masa muy pequeña por lo que no tenga una razón de inercia por la que no pueda girar y ese es el problema ustedes quieren saber cuál es la aceleración en esta masa de 3 kilogramos y en esta masa de 5 kilogramos y tengo que advertirles hay una forma sencilla de hacer esto y también hay una forma difícil de hacerlo ahora primero vamos a ver la forma difícil y bueno sé que a nadie le gusta escuchar esto pero la razón es que si usamos la forma sencilla ahorita no vamos a comprender qué está pasando a menos que conozcamos la forma difícil y también otra razón es que la forma difícil tampoco es tan difícil y la tercera razón es porque los profesores de física muchas veces quieren vernos resolver estos problemas de la manera difícil por lo que debemos saber cómo hacerlo bueno si queremos encontrar la aceleración ustedes saben cómo encontrarla usamos la segunda ley de newton la aceleración en una dirección dada es igual a la fuerza neta en esa dirección entre la masa cuál de estas masas vamos a elegir primero pues podemos elegir la más grande la de cinco kilogramos así que la aceleración en la masa de los cinco kilogramos es igual a la fuerza neta que actúa en esta masa de 5 kilogramos dividida entre estos 5 kilogramos y recuerden que debemos elegir una dirección queremos elegir la dirección horizontal o la dirección vertical pues ya que esta caja se va a acelerar de manera horizontal y es lo que nos interesa pongo aquí una equis para indicar que esto va a ser en la dirección horizontal ahora puedo sustituir valores la aceleración de la masa de 5 kilogramos en la dirección horizontal va a ser igual a qué fuerzas tenemos aquí para conocer qué fuerzas van aquí tenemos que dibujar un diagrama de fuerzas bueno en esta masa de 5 kilogramos voy a tener la fuerza de gravedad que va hacia abajo fg va a haber una fuerza igual que va hacia arriba y es la fuerza normal esta fuerza normal es igual en magnitud a la fuerza de gravedad en esta caja seguramente no está siendo acelerada verticalmente y no hay razón para que lo esté esta mesa es rígida hay una fuerza más en esta caja es una fuerza que va a la derecha que será la fuerza de tensión y si no hay fricción en esta mesa no tendré una fuerza que vaya hacia la izquierda y normalmente ignoramos la resistencia al aire así que aquí también lo hago y eso es todo la única fuerza horizontal que tenemos aquí este y la divido entre la masa de los cinco kilogramos que es de 5 kilogramos y tenemos un problema no conocemos la aceleración de la masa de los 5 kilogramos y tampoco conozco la tensión no lo puedo resolver normalmente lo que hacemos en estos casos es calcular la otra dirección la dirección vertical pero en este caso esto tampoco me va a ayudar porque me dice que la fuerza normal es igual a la fuerza de gravedad y pues eso ya lo sabíamos realmente no nos está ayudando qué hacemos entonces bueno noten que esto es solo para la masa de 5 kilogramos ahora voy a tener que analizar la masa de 3 kilogramos lo ponemos de este lado la aceleración de la masa de tres kilogramos va a ser igual a la fuerza neta en esta masa de 3 kilogramos dividida entre la masa que es de 3 kilogramos nuevamente cual dirección debemos elegir pues esta aceleración va a ser vertical por lo que elijo esa dirección aquí le pongo unas 10 para recordarme de que esto es sobre la dirección vertical qué fuerzas debo de poner aquí esto lo descubrimos con nuestro diagrama de fuerzas tengo una fuerza de gravedad en esta masa de 3 kilogramos y voy a tener la misma atención que tenía en este otro lado por lo que la atención de este lado de la cuerda va a ser el mismo que el que tengo en este otro lado suponiendo que esta polea no tiene resistencia y no tiene casi masa casi no tiene masa y no tiene fricción en este caso a mis tensiones van a tener el mismo tamaño y la dibujo hacia arriba pero no va a ser tan grande como la fuerza de gravedad al menos en esta masa esta tensión va a ser más pequeña y la razón es que esta masa se está acelerando hacia abajo y las fuerzas no se pueden balancear por lo que la fuerza de tensión tiene que ser más pequeña en este diagrama de fuerzas pero esta tensión de aquí debe ser igual a esta otra atención de acá vamos a escribir los valores la aceleración en la masa de tres kilogramos en la dirección a ser igual a mis dos fuerzas verticales tengo la atención hacia arriba por lo que será positiva normalmente a mi convención es que todo lo que vaya en dirección hacia arriba será positivo y todo lo que vaya en dirección hacia abajo será negativo tengo la gravedad hacia abajo por lo que tendrá valor negativo esto es 3 kilogramos por la aceleración de la gravedad en la tierra que es igual al 9.8 metros por segundo al cuadrado y ahora todo esto lo divido entre la masa que son 3 kilogramos pero sigo teniendo problemas no conozco esta aceleración y tampoco conozco esta atención que es lo que pueda hacer bueno si se dan cuenta aquí mis incógnitas en este lado son la aceleración y la atención y mis incógnitas en este otro lado también son la aceleración y la atención pareciera que tengo dos ecuaciones con dos incógnitas quizás debamos combinarlas y eso es exactamente lo que tenemos que hacer tengo la atención en ambas fórmulas vamos a despejar la atención en esta de aquí ya que es más fácil y tenemos que no es atención es igual a mi masa de 5 kilogramos por la aceleración de esta masa de 5 kilogramos en la dirección horizontal y ahora tengo mi tensión que es igual a esto voy a tomar esto y lo voy a sustituir en esta otra fórmula ya que esa tensión de este lado es la misma que la atención de este otro lado tomo esto y lo sustituyó en esta atención de aquí queda que la aceleración de la masa de los tres kilogramos en la dirección vertical será igual y aquí arriba vamos a tener bastantes cosas esta te es igual a cinco kilogramos por cinco kilogramos por la aceleración de la masa de cinco kilogramos en la dirección horizontal y tengo todo esto de acá así que esto lo pongo aquí abajo y ahora que tengo pues sigo teniendo mis tres kilogramos aquí abajo ahí estamos mejor que antes pues sí estamos mejor porque ahora mis únicas incógnitas son las aceleraciones pero éstas no son iguales esta aceleración es la de la masa de tres kilogramos en la dirección vertical y esta es la aceleración de la masa de cinco kilogramos en dirección horizontal y aquí es donde voy a tener que dar un argumento y a muchas personas no les gusta esto pero es crucial para poder resolver el problema esta idea es que imaginen que esta masa de 3 kilogramos se mueve hacia acá 1 metro esta masa de 5 kilogramos se moverá hacia adelante un metro de no ser así entonces no proporcionaría ese metro de cuerda que necesita esta masa para bajar de manera que la cuerda se rompió o la cuerda se estiró y suponemos que nuestra cuerda ni se rompe ni se estira aunque esto no es del todo cierto todas las cuerdas se van a estirar un poquito aunque sea pero en este caso vamos a suponer que este estiramiento es muy pequeño por lo que si esta masa de tres kilogramos se mueve hacia abajo cierta distancia la masa de cinco kilogramos se tiene que mover hacia adelante la misma distancia de manera que proporciona la cantidad suficiente de cuerda para que esta masa de tres kilogramos se pueda mover hacia abajo de otras maneras imagínense si esto no se mueve y la masa de tres kilogramos si se mueve más lejos que la masa de 5 kilogramos esta cuerda o se está estirando o se está rompiendo si no me creen vamos en el vídeo y piensen en ello para que se convenzan si no están convencidos de esto no van a poder solucionar el problema si se convencen de esto verán que si esta masa de 3 kilogramos se está moviendo hacia abajo con cierta velocidad y rapidez de ciertos metros por segundo entonces nuestra masa de 5 kilogramos también se tiene que estar moviendo a la misma velocidad o rapidez ya que de no ser así no estará proporcionando la cuerda necesaria para que la otra masa se desplace esta cantidad y si ustedes creen en todo esto pues no les va a ser difícil convencerse de que esta masa de 3 kilogramos sin importar cuál sea su aceleración hacia abajo esta masa de 5 kilogramos también deberá tener la misma aceleración hacia la derecha para que pueda dar la cuerda necesaria para este movimiento sin que se estire o se rompa la aceleración de la masa de 3 kilogramos en la dirección vertical es negativa porque va hacia abajo y suponemos que hacia arriba es positivo y hacia abajo es negativo esta masa de 5 kilogramos tiene una aceleración hacia la derecha por lo que es positiva todo lo que va hacia la derecha es positivo y todo lo que va hacia la izquierda es negativo así que el signo puede variar pero la magnitud es la misma de manera que se dé la suficiente cuerda que necesita la otra masa para moverse así que aquí las magnitudes son las mismas y aquí como tenemos que una es negativa y otra es positiva puedo decir y la aceleración en la masa de tres kilogramos en sentido vertical es igual a menos la aceleración en la masa de cinco kilogramos en dirección horizontal pude verlo escrito de la otra manera donde la masa de cinco kilogramos en x es positiva y a la masa de tres kilogramos en dirección vertical sea negativa pero aquí lo importante es que solo son diferentes en el signo y esta es la pieza clave que necesitamos para resolver el problema ponemos esta ecuación final aquí en la otra fórmula para dejar todo en términos de una sola incógnita si tengo aquí mi 3g y aquí me dice que a 13 es igual a menos a 5 x tomo esto y lo sustituyó aquí me va a quedar menos a 5 x igual a todo esto que voy a copiar y pegar y ahora solamente tengo que despejar una incógnita ya tengo todo en términos de a 5x aunque se encuentra en ambos lados sólo es cuestión de combinarla ahí en un lado por lo que solo tenemos que usar un poco de álgebra aquí vamos a mover esto de aquí para tener más espacio y ahora vamos a despejar a 5x multiplicamos ambos lados por 3 kilogramos para deshacernos de este denominador me queda menos 3 kilogramos a 5x y como multiplique ambos lados por 3 kilogramos de este lado sólo me queda 5 kilogramos que multiplica a 5 en la dirección horizontal menos 3 por 9.8 nos da menos 29.4 newtons vamos a combinar nuestros términos con a 5 vamos a mover este menos 3 x 5x de este otro lado sumando esto en ambos lados y sumemos 29.4 en ambos lados me queda a 29.4 newtons positivos porque está del otro lado de la igualdad esto desaparece del lado izquierdo y me queda que sumó este término en ambos lados de la igualdad me queda 3 kilogramos a 5x positivo desaparece de este otro lado por lo que nos queda 5 kilogramos a 5x 3 kilogramos a 5x y desde el lado derecho puedo combinar ambos términos ya estamos cerca de terminarlo 5 a 3 es igual a 8 a por lo que me queda 29.4 newtons igual a 8 kilogramos por la aceleración en la masa de 5 kilogramos en dirección horizontal ahora a ambos lados lo divido entre 8 y normalmente ponemos la variable que queremos despejar del lado izquierdo y aquí tengo 29.4 newtons entre 8 kilogramos es igual a la aceleración en la masa de 5 kilogramos en la dirección horizontal escribo esto en mi calculadora y redondeado nos da 3.68 que es positivo y esto es bueno ya que esta masa de 5 kilogramos tiene una aceleración positiva entonces son 3 puntos 68 metros por segundo al cuadrado positivos pero esto es solo para la masa de 5 kilogramos cuál va a ser la aceleración en la masa de tres kilogramos pues es fácil va a tener la misma magnitud que la de la masa de cinco kilogramos pero con el signo contrario conozco cuánto es a 5x lo sustituyó aquí y sé que a 3 va a ser igual a esto pero con signo negativo menos 3.68 metros por segundo al cuadrado y con esto terminamos ya encontramos ambas aceleraciones la aceleración de la masa de tres kilogramos es negativa lo cual no nos sorprende porque es una aceleración que va hacia abajo y encontramos la aceleración en nuestra masa de 5 kilogramos que es positiva lo que también tiene sentido porque va hacia la derecha vamos a repasar qué es lo que hicimos primero usamos nuestra segunda ley de newton para la masa de 5 kilogramos que no pudimos calcular usamos la segunda ley de newton para la masa de 3 kilogramos que tampoco pudimos resolver y aquí se puso confuso todo porque parecía que teníamos tres incógnitas y solo dos ecuaciones pero la clave que nos permitió resolver esto de manera que sólo tuviéramos una incógnita y una ecuación fue tener las aceleraciones en términos de ellas mismas y esto es porque esas aceleraciones no son independientes las aceleraciones deben tener la misma magnitud y en este caso una tuvo el signo opuesto sustituimos esto en la otra ecuación y nos quedó una ecuación con una incógnita despejamos esta incógnita obtuvimos la magnitud de la aceleración y esta es la forma difícil de resolver este problema en el siguiente vídeo cuál es la forma sencilla de hacerlo