Repaso de Torca y momento angular de AP Physics 1 (AP de Física 1)

y las fórmulas de cinemática rotacional nos permiten relacionar las cinco variables diferentes del movimiento rotacional que son como las fórmulas que normalmente se aplican en cinemática excepto que en lugar de desplazamiento tenemos desplazamiento angular en lugar de velocidad inicial tenemos velocidad angular inicial en lugar de velocidad final tenemos velocidad angular final y en lugar de aceleración tenemos aceleración angular y bueno el tiempo sigue siendo el tiempo ahora para un examen como este solo necesitamos las primeras dos fórmulas la 3 y la 4 generalmente no se necesitan y estas fórmulas solo son verdaderas si la aceleración angular es constante pero qué significa cada una de las variables bueno el desplazamiento angular es la distancia en grados que un objeto gira en un cierto tiempo t y la velocidad angular se define como la rotación en grados / el tiempo justo como la velocidad es igual al desplazamiento entre el tiempo y la aceleración angular se define como el cambio de la velocidad angular entre el tiempo justo como la aceleración normal es igual al cambio de la velocidad entre el tiempo y para algo que gira describiendo un círculo los puntos de la velocidad angular son perpendiculares al plano de rotación pero es más fácil decir si omega va en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario y mire para obtener la longitud de arco s que el objeto ha recorrido simplemente multiplicamos el radio por el desplazamiento angular y para calcular la velocidad del objeto multiplicamos el radio por la velocidad angular y para calcular la aceleración tangencial multiplicamos el radio por la aceleración angular ahora observen que esta es la aceleración tangencial que causa que el objeto acelere y desacelere y la aceleración centrípeta para que el objeto cambie de dirección la fórmula para eso es v cuadrada entre er entonces los objetos que se mueven en una trayectoria curvilínea tienen que tener una aceleración centrípeta porque cambian de dirección pero solo si aceleran o desacelerar tendremos aceleración tangencial y aceleración angular veamos un ejemplo supongamos que un objeto gira describiendo un círculo a una velocidad constante cuál de las siguientes respuestas describe mejor las aceleraciones del objeto los tres tipos de aceleraciones del objeto bueno si un objeto se mueve describiendo un círculo tiene que haber aceleración centrípeta por lo tanto será diferente de cero y si está rotando a una velocidad constante entonces no hay cambio en omega eso significa que la aceleración angular es igual a cero y si la aceleración angular es igual a cero la aceleración tangencial también será igual a 0 porque únicamente cuando el objeto acelera o desacelera existe una aceleración angular y tangencial esto cambia la velocidad y la aceleración centrípeta cambia la dirección ahora que significa torca bueno la torca es la fuerza causante de la aceleración angular y para que el movimiento angular de un objeto acelere y desacelere tiene que existir una torca neta y para eso se necesitan fuerzas entonces para que exista una torca tenemos que tener una fuerza y cada fuerza puede ejercer una tuerca diferente dependiendo de en donde se aplica min si las fuerzas se aplican lejos del eje de rotación tendremos una torca mayor en comparación con cuando se aplica una fuerza cerca del eje de rotación y eso es lo que representa esta r&r nos dice que tan lejos del eje se aplica la fuerza y para incrementar esa fuerza se debe aplicar perpendicular r ya que el seno de 90 grados es igual a 1 entonces para incrementar la torca debemos aplicar una fuerza perpendicular a r lo más lejos posible del eje de rotación y puede que tengamos muchos ángulos en un problema pero este ángulo siempre será el ángulo entre r y f y de forma similar a un objeto que se encuentra en equilibrio traslacional la fuerza neta es igual a cero entonces podemos decir que cuando un objeto se encuentra en equilibrio rotacional la torca neta es igual a cero con lo que la aceleración angular también es igual a cero justo como el equilibrio traslacional provoca que la aceleración sea igual a cero ahora la torca es un vector tiene una dirección y generalmente es lógico pensar en que la dirección va en el sentido contrario o en el mismo sentido al de las manecillas del reloj dependiendo de hacia donde se aplique la fuerza para que el objeto rote y como la torca es igual por efe la unidad nos queda como metros por newton o newton metro veamos un ejemplo supongamos que tenemos esta barra con este eje y se aplican diferentes fuerzas como se muestra en la imagen queremos saber qué tan grande debe ser la fuerza a efe para que la barra se encuentre en equilibrio y rotacional recuerden equilibrio rotacional significa que la torca neta es igual a cero es decir que toda la torca que se encuentre hacia el sentido de las manecillas del reloj tiene que ser igual a la torca que se encuentre hacia el sentido contrario de las manecillas del reloj para que el sistema esté en equilibrio entonces las fuerzas de 1 y 3 newtons están tratando de hacer que el sistema gire en el sentido de las manecillas del reloj pero la fuerza desconocida a efe trata de hacer que el sistema rote en el sentido contrario y la fuerza de color verde en realidad no está aplicando ninguna torca porque aun cuando r no es igual a 0 el ángulo entre la fuerza y el valor de r es igual a 180 grados y el seno de 180 grados es igual a 0 lo cual tiene sentido porque esta fuerza en realidad no provoca que la barra rote entonces la torca en el sentido de las manecillas del reloj es igual a un metro por 3 newtons en el caso de la torca de 3 newtons más ojo no son 2 metros para la fuerza de un newton acuérdense que siempre debemos partir del eje de rotación así que tenemos tres metros por un newton entonces la torca en el sentido de las manecillas del reloj es igual a 6 newtons por metro y ahora vamos a escribir la torca aplicada por la fuerza desconocida a efe como un metro por efe así que para que 6 newtons por metro sea igual a 1 por efe la fuerza f es igual a 6 newtons qué es la inercia rotacional bueno a un objeto con una inercia rotacional grande será difícil hacerlo girar así como detenerlo así que la inercia rotacional nos dice que tanto se resistirá un objeto a la aceleración angular justo como la inercia nos dice que tanto se resistirá un objeto a la aceleración y bueno la inercia rotacional se refiere al momento de inercia pero como hacemos que la inercia rotacional sea grande bueno eso lo podemos hacer si colocamos la masa lejos del eje de rotación y por el contrario para que la inercia rotacional sea pequeña simplemente podemos colocar la masa cerca del eje de rotación es decir que si empujamos una masa cerca del eje de rotación que es el punto en el que el objeto rota podemos hacer que el momento de inercia sea más pequeño y para encontrar el momento de inercia o la inercia rotacional de un objeto cuya masa gira con el mismo radio r podemos usar la fórmula y es igual a m la masa que está girando por la distancia a la que se encuentra del eje al cuadrado y esta es una fórmula que tienen que memorizar y es igual a m por r al cuadrado y por ejemplo si tenemos muchas masas girando a diferentes eres simplemente sumamos la contribución de cada una ahora si tenemos una masa continua las fórmulas son un poco más complicadas por ejemplo para una barra giratoria cuyo eje se localiza en el centro de la barra el momento de inercia es igual a un doceavo por la masa de la barra por la longitud total de la barra al cuadrado y para una barra cuyo eje de rotación se encuentra en un extremo el momento de inercia es mayor ya que existe más masa distribuida lejos del eje y esta fórmula es a un tercio de la masa de la barra por la longitud total de la barra al cuadrado ahora la inercia rotacional de una esfera cuyo eje de rotación pasa por el centro es igual a dos quintos por la masa de la esfera por el radio de la esfera al cuadrado y la inercia rotacional de un cilindro o de un disco cuyo eje de rotación pasa por el centro es igual a un medio de la masa por el radio al cuadrado y bueno otro ejemplo que es muy común y que no les dan la fórmula en un examen es un aro observen que aquí toda la masa está distribuida alrededor de un centro que está hueco y como toda la masa se encuentra al mismo radio r la fórmula para la inercia rotacional de un aro es la misma que aplicamos para la inercia rotacional de una masa que gira alrededor de un eje con el mismo radio r porque el hecho de que la masa esté distribuida en un círculo no tiene importancia pues massa siempre se encuentra en el mismo radio y bueno como la inercia rotacional no es un vector siempre será positiva o igual a cero y para las unidades como estamos multiplicando m por r al cuadrado entonces tenemos kilogramos por metro al cuadrado ok veamos un ejemplo supongamos que dos cilindros ruedan colina abajo desde el reposo sin deslizarse la masa del cilindro a está distribuida igualmente por todo el cilindro pero el cilindro b está hecho de un material más denso y tiene un hueco en el centro con la masa distribuida alrededor del eje si las masas y el radio de los cilindros son iguales que cilindros llegará primero al final de la colina bueno para saber que el cilindro llega primero necesitamos preguntarnos cuál rodará más fácilmente claro al cilindro con el momento de inercia menor le será más fácil girar eso significa que rodará fácil y llegará al final de la colina más rápido pero si tenemos una masa que está distribuida lo más lejos posible del eje de rotación esos objetos tendrán el momento de inercia más grande y miren como la masa del cilindro p se encuentra más lejos del eje a diferencia del cilindro a el cilindro b tendrá un momento de inercia mayor será más difícil que gire y se tardará más tiempo en bajar la colina por lo tanto ganará el cilindro a cuál es la versión angular de la segunda ley de newton la segunda ley de newton dice que la aceleración es igual a la fuerza neta entre la masa así que la versión angular de la segunda ley de newton dice que la aceleración angular es igual a la torca neta entre la inercia rotacional y miren m nos dice que tanto se resiste un objeto a la aceleración mientras que la inercia rotacional nos indica que tanto se resiste un objeto a la aceleración angular entonces es como cuando sumamos los vectores de fuerza tenemos que tener cuidado con los signos lo mismo se aplica con la torca la torca es un vector así que puede ser positiva si va en el sentido de las manecillas del reloj o negativa si va en el sentido contrario veamos un ejemplo supongamos que la barra que se muestra abajo tiene una inercia rotacional de dos kilogramos por metro cuadrado y las fuerzas actúan como se muestra nosotros queremos saber cuál es la magnitud de la aceleración angular de la barra entonces vamos a usar la segunda ley de newton en su forma angular que dice que la aceleración angular es igual a la torca neta entre la inercia rotacional y como ya tenemos la inercia rotacional sólo necesitamos la torca neta y para eso necesitamos calcular la torca de cada una de estas fuerzas vamos a ver la torca de la fuerza de un newton es r que en este caso está a 3 metros del eje por la fuerza que es de un newton y como esta fuerza se aplica perpendicularmente a r el seno de 90 grados es igual a 1 así que la torca de la fuerza de un newton es igual a 3 newtons por metro en dirección contraria al sentido de las manecillas del reloj y la torca en el caso de la fuerza de 4 newtons sería un metro porque se aplica a un metro del eje por 4 newtons y eso es igual a 4 newtons por metro en el sentido de las manecillas del reloj así que la torca neta es igual a 4 newtons por metro en el sentido de las manecillas del reloj y 3 newtons por metro en el sentido contrario a las manecillas del reloj por lo tanto la torca neta es igual a un newton por metro en el sentido de las manecillas del reloj porque 4 es una unidad más grande que 3 y esto lo dividimos entre la inercia rotacional que es 2 entonces la aceleración angular es igual a 0.5 y que es la energía cinética rotacional bueno si un objeto está girando tiene una energía cinética rotacional y si el centro de la masa del objeto se mueve y el objeto está girando decimos que tiene una energía cinética traslacional normal y una energía cinética rotacional las dos son energía cinética y esta es sólo una forma de diferenciar los dos tipos así podemos calcular la energía cinética total de algo que se mueve y gira al mismo tiempo entonces la fórmula para la energía cinética rotacional es igual a un medio por la inercia rotacional por la velocidad angular al cuadrado lo cual tiene sentido porque la fórmula que todos conocemos para calcular la energía cinética es igual a un medio por la masa por la velocidad al cuadrado entonces si uno objeto está girando tiene una energía cinética rotacional pero si el centro de la masa de un objeto se está moviendo entonces tiene una energía cinética de traslación y si el centro de la masa se mueve y al mismo tiempo el objeto gira entonces decimos que el objeto tiene tanto energía rotacional como energía traslacional ahora la energía cinética rotacional no es un vector siempre será positiva o igual a cero y las unidades son kilogramos por metro al cuadrado entre segundo al cuadrado y como estamos hablando de energía esto es igual a jules veamos un ejemplo una torca constante es aplicada sobre un cilindro que inicialmente se encontraba en reposo y que puede rotar mediante un eje que pasa por su centro cuál de estas curvas demuestra la mejor energía cinética rotacional del cilindro en función del tiempo bueno si se aplica una tuerca constante sobre un objeto entonces la aceleración angular también es constante y si la aceleración angular es constante podemos usar las fórmulas cinéticas para calcular la velocidad final de este objeto miren la velocidad angular final como el objeto empieza desde el reposo es igual a alfa por t y eso significa que la energía cinética rotacional de este objeto se puede escribir como un medio por el momento de inercia que es una constante por omega al cuadrado y en este caso nos queda como un medio por y por alfa t al cuadrado entonces como la función de la energía cinética es proporcional al tiempo al cuadrado si gráfica mos la energía cinética en función del tiempo obtenemos una parábola así que la respuesta correcta es la opción b que es el momento angular bueno la razón por la que nos interesa el momento angular es porque será conservado por un sistema si no hay una tuerca externa en el sistema y esto es justo como en el momento normal en el que tenemos masa por velocidad solo que el momento angular es igual a la inercia rotacional por la velocidad angular y esta es una fórmula muy buena para calcular el momento angular de un objeto extendido cuya masa se encuentra distribuida en diferentes puntos alejados del eje de rotación pero los raros sobre el momento angular es que aún cuando una masa puntual se mueve en línea recta puede tener momento angular y para calcular el momento angular de una masa puntual que se mueve en línea recta simplemente multiplicamos la masa del objeto por la velocidad de ese objeto y ya sea que lo multipliquen por qué tan lejos se encuentra del eje por el seno del ángulo que hay entre el vector la velocidad y erre o también una forma más sencilla es simplemente multiplicar por la distancia más cercana es decir que tan cerca ha estado esa masa del eje así que para calcular el momento angular de esta masa que se mueve en línea recta pueden dibujar una línea recta para indicar su trayectoria y observen qué tan cerca ha estado o podría estar del eje eso es ser mayúscula y si multiplican eso por la masa y por la velocidad pueden calcular el momento angular de esa masa puntual ahora el momento angular es un vector y es más fácil pensar en la dirección del momento angular como en el sentido contrario a las manecillas del reloj o en el sentido de las manecillas del reloj dependiendo de hacia donde esté girando el objeto y para las unidades si multiplicamos masa kilogramos por metros entre segundo por metros that para el momento angular nos queda como kilogramos por metro cuadrado entre segundo veamos un ejemplo supongamos que una esfera de arcilla de masa m se dirige hacia una barra que tiene una masa 3 m y una longitud l con una velocidad b y la barra puede girar libremente alrededor del eje que se encuentra en uno de sus extremos si la arcilla se pega al final de la barra cuál será la velocidad angular de la barra después de que la arcilla se pegue y nos dicen que el momento de inercia de una barra que gira alrededor de uno de sus extremos es un tercio ml al cuadrado ok bueno como en este sistema no hay torca neta externa el momento angular del sistema será conservado y el único objeto que inicialmente tiene un momento angular es la esfera de arcilla entonces como tenemos una masa puntual moviéndose en línea recta usa la fórmula m por la velocidad por lo más cerca que nos encontramos del eje que es el la longitud de la bar y eso es igual al momento angular final que lo podemos escribir como y por omega y miren esta y será el momento de inercia tanto de la barra como de la arcilla pegada al final de la barra entonces tenemos m de l es igual al momento total de inercia y sabemos que el momento de inercia de la barra es un tercio por la masa de la barra que es 13 m por la longitud de la barra al cuadrado más el momento de inercia de la arcilla pegada al final de la barra que es igual a la masa de la arcilla por el radio del círculo que traza la arcilla que es la longitud del abarth entonces estamos usando la fórmula para el momento de inercia de una masa puntual en donde toda la masa está girando al mismo radio del centro y eso lo sumamos momento de inercia de la barra y lo multiplicamos por omega ok así el término entre corchetes nos queda como 2 ml al cuadrado y podemos cancelar las semis también podemos cancelar una de las teles y nos queda que omega es igual a v entre 2 l finalmente me gustaría hablar de una fórmula más general para la energía potencial gravitacional pero para que necesitamos una fórmula más general bueno si están en una región en donde el campo gravitacional g minúscula es constante entonces podemos usar la fórmula m por g por h para encontrar la energía potencial gravitacional pero si están en una región en donde el campo gravitacional es variable entonces tenemos que usar esta fórmula más general que establece que la energía potencial gravitacional entre dos masas m1 y m2 sera igual a menos la constante de gravitación g mayúscula por el producto de las dos masas entre la distancia que hay de centro a centro entre las dos masas ojo observen que esta es una distancia del centro al centro no de superficie superficie y no está elevada al cuadrado como en la fórmula de fuerza ésta es sólo la distancia ahora la energía potencial gravitacional no es un vector pero por este signo negativo siempre será negativa o igual a cero y solo será cero cuando estas masas estén infinitamente alejadas porque si dividimos algo entre infinito por ejemplo uno entre infinito es igual a cero y si no es cero siempre será negativa pero aún cuando la energía potencial gravitacional sea negativa esta energía aún puede ser convertida en energía cinética solo que para que la energía potencial gravitacional disminuya tendrá que ser aún negativa para poder convertir esa energía en energía cinética saque el tema en esta sección porque como los planetas están orbitando tenemos que usar esta fórmula para determinar la energía potencial gravitacional entre ellos y como esa energía las unidades serán just veamos un ejemplo supongamos que tenemos dos esferas de radio r y de masa m que se sienten atraídas por su atracción gravitacional si la distancia entre ellas de superficie a superficie empieza siendo de 4 r y termina de 12 r cuánta energía cinética ganará el sistema bueno como necesitamos incluir las dos masas en nuestro sistema eso significa que no hay trabajo externo así que la energía del sistema se conserva el sistema empieza con una energía potencial gravitacional entonces menos g mayúscula por las dos masas que como se multiplican las podemos escribir como al cuadrado entre la distancia inicial que no es 4 r porque recuerden que debe de ser la distancia de centro a centro entonces sería 6 r y suponiendo que empezamos desde el reposo al inicio no hay energía cinética y esto es igual a la energía potencial gravitacional final g mayúscula por la masa al cuadrado entre la distancia final que de centro al centro es 4 r más la energía potencial que haya sido convertida a energía cinética entonces despejando a la energía cinética nos queda menos g mayúscula por m al cuadrado entre 6 r más g mayúscula por m al cuadrado entre 4 r y un cuarto menos un sexto es igual a un doceavo así que la cantidad de energía potencial que se convierte en energía cinética es g mayúscula por m al cuadrado entre 12 r