Introducción al movimiento armónico

ya sabemos que es un resorte así que con un poco de suerte podemos entender cómo se mueve quiero hacer este vídeo también para ganar un poco de la intuición de que es el movimiento armónico y para entender un poquito qué son las ecuaciones diferenciales eso lo vamos a ver cerca del final del vídeo y en el siguiente vídeo y usa un poco de cálculo pero no te preocupes si te da mucho miedo puede destapar te los ojos o saltarte el vídeo en fin bueno aquí tenemos un resorte el resorte es el que está dibujado en blanco y su estado de reposo es en el cero sin embargo lo que hicimos fue pegarle una masa m y estirar el resorte hasta un punto a va bueno entonces sabemos que aquí va a empezar a actuar una fuerza restauradora que está dada por la ley de hook como sigue esa fuerza es igual a menos una constante que depende del resorte multiplicado por la posición en donde está esta masa de acá bueno esta fuerza restauradora lo que va a hacer es empezar a hacer que esta masa se acelere hacia la izquierda o sea que el resorte se regrese pues al principio se regresa un poco lento pero como hay una aceleración empieza a aumentar y aumentar la velocidad hasta que aquí perdimos toda la energía potencial que teníamos al inicio pero se convirtió en energía cinética esa energía cinética hace que la masa se siga moviendo hasta llegar a este punto menos a punto en el cual recuperamos nuestra energía potencial verdad el resorte se comprime y volvemos a empezar ahora vamos para allá y de regreso para allá y de regreso bueno lo que quiero hacer es agarrar una intuición de cuál es la posición de la masa en función del tiempo del tiempo que le vamos a llamar t eso lo vamos a hacer en este y en los siguientes vídeos y para esto vamos a hacer una gráfica déjame tomar este color amarillo para pintar los ejes lo voy a pintar para que quede más o menos a la misma altura entonces ahí tenemos déjame ponerle un poco más abajo ahí tenemos la gráfica pero ojo en esta gráfica nd en este eje en el eje horizontal vamos a tener el tiempo esa es nuestra variable independiente y acá aunque se vea raro vamos a tener la posición es raro tener el eje x aquí verticalmente pero así lo estamos haciendo verdad está en función del tiempo muy bien entonces bueno vamos a empezar con un tiempo facilitó como el tiempo te iguala 0 que pasa al inicio pues al inicio lo que hicimos fue tomar la masa y ponerla aquí en el punto a entonces al parecer el punto a va a ser importante déjame marcarlo y también parece ser que el punto menos va a ser importante verdad porque también vamos a pasar por ahí entonces este es el punto a y el menos a y déjame marcar aquí una línea para que sea un poco más fácil graficar esa línea no es nada especial da más espacio para que podamos graficar fácilmente ok entonces empezando déjame agarrar el color del resorte que es el blanco empezando en el tiempo te iguala 0 la masa está en el punto a entonces estamos en este punto de por acá y después de algún tiempo verdad vamos a llegar a menos a y luego vamos a regresar vamos a ponerle un nombre a todo este tiempo total que tardamos en regresar a en hacer todo esto vale y ese nombre va a ser el periodo del resorte déjame marcarlo por algún lado aquí lo voy a poner le voy a poner t mayúscula y t mayúscula es el periodo es lo que se tarda la masa en regresar a su posición original en dar toda la vuelta bueno entonces bueno justo como definimos el periodo así al tiempo te vamos a tener que la masa también está en a también está en a pero ahora podemos decir otras cosas interesantes por ejemplo entre medios aquí está tema de medios a la mitad del tiempo donde estamos que es lo que sucede pues justo llegamos a la mitad de nuestro camino que es menos a verdad entonces vamos a llegar a este punto de acá este punto también está en la gráfica que nos interesa y bueno también en esa bueno en ese paseo pasamos por aquí por el 0 entonces a la mitad de llegar a menos a llegamos al cero por aquí y luego cuando vamos de regreso también pasamos por el 0 entonces este este punto de acá sería el punto de cuartos de cuartos y este sería 3 de cuartos 3 cuartos bueno ya tenemos algunos puntos sobre la gráfica de la función que nos interesa pero mi pregunta es podemos simplemente unirlos así con una línea yo digo que no sea simplemente unimos con una línea estos puntos lo que estamos diciendo es que tiene una pendiente constante o bien en interpretación física estamos diciendo que tiene una velocidad constante pero no es cierto que la masa tenga una velocidad constante verdad como platicamos al principio su velocidad es muy baja de hecho al mero inicio su velocidad es cero y luego la aceleración causada por la fuerza hace que aumente y aumente aumente hasta llegar acá y luego que disminuya y disminuya y disminuya hasta que bueno vayamos al otro lado y así sucesivamente entonces no no tiene velocidad constante esto de aquí no puede ser un zigzag entonces cómo quedaría pues otra vez vamos a ver al principio de la velocidad es muy baja entonces la pendiente es horizontal pero luego empezamos a acelerar y acelerar y acelerar y sobreponer un poco más bonito acelerar y acelerar y acelera hasta que llegamos a este punto de aceleración máxima pero ahora ya pasamos este la fuerza actúa hacia el otro lado así que empezamos a desacelerar hasta que llegamos a menos en donde la velocidad de 0 y por eso es aquí algo con pendiente horizontal y en ese momento ahora empezamos a acelerar hacia el otro lado mucho mucho mucho mucho hasta que llegamos acá y misma idea ya ha pasado este punto ahora aceleramos hacia la izquierda osea empezamos a tener una menor velocidad hasta que llegamos acá a este punto t de hecho podríamos seguirle verdad misma idea a quienes aceleramos llegamos acá tocamos este punto etcétera cuando nada más me voy a preocupar en lo que sucede en un periodo porque después nada más se va repitiendo ahora qué sucede bueno aquí hay algunos puntos en donde la velocidad de 0 que son a menos a ok eso está padre pero pero ahora a qué se parece esta gráfica o sea no sé tú pero a mí me parece muchísimo algo que tiene que ver con trigonometría y de hecho si tuviera que apostar por alguna función yo diría que se parece muchísimo a algo que tiene que ver con cos en sí porque mira coseno al principio es 0 seno seno de un ángulo al principio si es 0 entonces pues no se parece tanto pero coseno en 0 vale 1 así que si podemos ajustarlo entonces a mí se me hace así por pura intuición es todavía no he probado nada pero a mí se me hace que la función x x detem x dt está dada por algo del estilo a jose no de omega de por qué pues porque justo en cero coseno de 0 nos queda 1 aquí da a y pues parece ser que es un coche no y aquí adentro vamos a tener que hacer algo para ajustar con respecto al periodo otra vez no he demostrado nada después lo vamos a probar algo después lo vamos a probar y vamos a ver cómo encontrar este valor de w que me inventé en términos de cosas que sí sepamos cómo la masa y tal vez se destaca bueno ahora sí para poder probar esto y ver qué de adeveras y se ve así ya tenemos que meternos con un poquito de cálculo con un poquito de ecuaciones diferenciales de hecho a lo mejor es la primera vez que ves una ecuación diferencial no es emocional es un momento como para celebrar bueno sí más bien te expande este momento otra vez puedes voltear la vista y no sé ver el clima o algo así o bien puedes ir a los vídeos de cálculo para aprender qué es una derivada y que esto ya no sea tan intimidante pero bueno el primer paso que vamos a hacer para reescribir todo en términos de ecuaciones diferenciales es reescribir la ley de hook cambiando la fuerza por masa por aceleración entonces déjame hacer eso voy a tomar el color azul entonces lo primero que vamos a hacer es cambiar esta fuerza y vamos a poner que masa por aceleración es igual a menos k x y aquí lo que voy a hacer es ponerle t si menos k xt para acordarnos que x está en función de t otra vez esto es un poco raro x usualmente es la variable independiente pero aquí es la variable dependiente porque depende de ti esto está bueno porque también nos ayuda un poco a repasar lo de la parametrización pero bueno ahora la idea es ver quién es a cómo podemos poner en términos de x y para eso vamos a pensar a x a equis dt o sea estar acá es la gráfica de la función x dt pero vamos a pensarla como la posición va entonces la posición es igual a x x de t bueno entonces la aceleración bueno para pasar de la posición a la aceleración primero necesitamos un punto intermedio que es la velocidad entonces la velocidad quien es la velocidad es como cambiar nuestra posición en dicho déjame cambiar de color para que no quede tan monótono entonces la velocidad la velocidad es cómo cambia la posición entonces es una derivada la podemos pensar como x prima de t hay otras formas de escribirlo la podemos poner también como la derivada con respecto a t de x dt o bien como de x dt pues nada más para que veas distintas notaciones y ahora si quién sería la aceleración la aceleración sería cómo cambia la velocidad entonces sería la derivada de la velocidad o bien la segunda derivada de la posición entonces finalmente tener busque la aceleración la aceleración es igual a la doble derivada de x con respecto a t o sea de la posición y para que veas otras notaciones bueno nada más voy a poner la equivalente a esta que estas de cuadrada x / de t cuadrado razón de no a son de es muy bien entonces ya tenemos todo expresado en términos de xy de sus derivadas y en el siguiente vídeo veremos cómo plantear una ecuación diferencial y resolverla para ver qué de adeveras la x se ve de esta forma bueno nos vemos y hasta la próxima