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Modelo de Bohr del hidrógeno

En este video vemos cómo el modelo atómico de Bohr explica el espectro atómico de emisión.

Puntos más importantes

El modelo del hidrógeno de Bohr está basado en la suposición clásica de que los electrones viajan en capas específicas, u órbitas, alrededor del núcleo.
Con el modelo de Bohr se calcularon las siguientes energías para un electrón en la capa n:

E, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 1, divided by, n, squared, end fraction, dot, 13, point, 6, start text, e, V, end text

Bohr explicó el espectro del hidrógeno en términos de electrones que absorben y emiten fotones para cambiar niveles de energía, en donde está la energía del fotón.

h, \nu, equals, delta, E, equals, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, n, start subscript, b, a, j, o, end subscript, squared, end fraction, minus, start fraction, 1, divided by, n, start subscript, a, l, t, o, end subscript, squared, end fraction, right parenthesis, dot, 13, point, 6, start text, e, V, end text

El modelo de Bohr no funciona para sistemas con más de un electrón.

El modelo planetario del átomo

Al principio del siglo XX, surgió un nuevo campo de estudio conocido como mecánica cuántica. Uno de sus fundadores fue el físico danés Niels Bohr, a quien le interesaba explicar el espectro de líneas discretas observado en la luz emitida por diferentes elementos. A Bohr también le interesaba la estructura del átomo, el cual era un tema de mucho debate en la época. Se habían postulado varios modelos del átomo con base en resultados experimentales en los que se incluyen el descubrimiento del electrón por J. J. Thompson y el descubrimiento del núcleo por Ernest Rutherford. Bohr apoyaba el modelo planetario, en el que los electrones giran alrededor de un núcleo cargado positivamente como los anillos alrededor de Saturno, o alternativamente, los planetas alrededor del Sol.

Sin embargo, los científicos todavía tienen muchas preguntas sin respuesta:

¿Qué son los electrones y qué hacen?
Si los electrones están orbitando el núcleo, ¿por qué no caen hacia el núcleo como predice la física clásica?
[¿Por qué la física clásica predice eso?]
¿Cómo es la estructura interna del átomo relacionada con las líneas discretas de emisión producidas por los elementos excitados?

Bohr contestó estas preguntas usando una hipótesis aparentemente simple: ¿qué pasaría si algunos aspectos de la estructura atómica, como las órbitas y energías electrónicas, solo pudieran tomar ciertos valores?

Cuantización y fotones

A principios de los años 1900, los científicos eran conscientes de que algunos fenómenos ocurrían en una forma discreta, en lugar de continua. Los físicos Max Planck y Albert Einstein habían teorizado recientemente que la radiación electromagnética no solo se comporta como una onda, sino a veces también como partículas llamadas fotones. Planck estudió la radiación electromagnética emitida por objetos calientes y propuso que la radiación electromagnética emitida estaba "cuantizada" pues la energía de la luz solo tenía valores dados por la siguiente ecuación: E, start subscript, start text, f, o, t, o, with, \', on top, n, end text, end subscript, equals, n, h, \nu, donde n es un entero positivo, h es la constante de Planck —6, point, 626, times, 10, start superscript, minus, 34, end superscript, start text, J, end text, dot, start text, s, end text— y \nu es la frecuencia de la luz que tiene unidades de start fraction, 1, divided by, start text, s, end text, end fraction.

Como consecuencia, la radiación electromagnética emitida debía tener energías que fueran múltiplos de h, \nu. Einstein usó los resultados de Planck para explicar por qué se necesitaba una frecuencia mínima de luz para expulsar electrones de la superficie de un metal en el efecto fotoeléctrico.

[¿En dónde puedo aprender más sobre el efecto fotoeléctrico?]

Cuando algo está cuantizado, significa que solo están permitidos valores específicos, como cuando se toca el piano. Puesto que cada tecla está afinada en una nota específica, solo cierto conjunto de notas —que corresponde a frecuencias de ondas sonoras— se pueden producir. Siempre y cuando tu piano esté apropiadamente afinado, puedes tocar un fa o fa sostenido, pero no puedes tocar la nota que está a la mitad entre fa y fa sostenido.

Espectro de líneas atómicas

El espectro de líneas atómicas es otro ejemplo de cuantización. Cuando un elemento o ion se calienta por una llama o se excita debido a una corriente eléctrica, los átomos excitados emiten luz de un color característico. La luz emitida puede refractarse por un prisma, lo que produce un espectro con una distintiva apariencia rayada debido a la emisión de ciertas longitudes de onda de la luz.

Espectro de emisión del sodio, arriba, comparado con el espectro del Sol, abajo. Las líneas obscuras en el espectro de emisión del Sol, que también se llaman líneas de Fraunhofer, son debido a la absorción de longitudes de onda específicas de luz por elementos en la atmósfera del Sol. La comparación lado a lado muestra que el par de líneas obscuras cerca de la mitad del espectro de emisión del Sol son debidas probablemente al sodio en su atmósfera. Crédito de la imagen: De la Biodiversity Heritage Library

Para el caso relativamente fácil del átomo de hidrógeno, las longitudes de onda de algunas emisiones incluso se pueden ajustar a ecuaciones matemáticas. Sin embargo, las ecuaciones no explican por qué el átomo de hidrógeno emite esas longitudes de onda en particular. Antes del modelo del átomo de hidrógeno de Bohr, los científicos no tenían clara la razón detrás de la cuantización del espectro de emisión atómico.

Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno: cuantización de la estructura atómica

El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno comenzó como el modelo planetario, pero él le agregó una suposición con respecto a los electrones. ¿Qué tal que la estructura del átomo estuviera cuantizada? Bohr sugería que quizás los electrones podrían orbitar el núcleo solo en órbitas específicas o capas con un radio fijo. Solo las capas con un radio dado por la ecuación siguiente estarían permitidas, y el electrón no podría existir entre estas capas. Matemáticamente, podríamos escribir los valores permitidos del radio atómico como r, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, n, squared, dot, r, left parenthesis, 1, right parenthesis, donde n es un entero positivo y r, left parenthesis, 1, right parenthesis es el radio de Bohr, el radio más pequeño permitido para el hidrógeno.

Encontró que r, left parenthesis, 1, right parenthesis tiene el valor

start text, r, a, d, i, o, space, d, e, space, B, o, h, r, end text, equals, r, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 0, point, 529, times, 10, start superscript, minus, 10, end superscript, start text, m, end text

Al mantener los electrones en órbitas circulares cuantizadas alrededor de un nucleo cargado positivamente, Bohr fue capaz de calcular la energía de un electrón en el n-ésimo nivel de energía del hidrógeno: E, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 1, divided by, n, squared, end fraction, dot, 13, point, 6, start text, e, V, end text, en el que la energía más baja posible o energía del estado base de un electrón de hidrógeno, E, left parenthesis, 1, right parenthesis, es minus, 13, point, 6, start text, e, V, end text.

Observa que la energía siempre va a ser un número negativo, y el estado base, n, equals, 1, tiene el valor más negativo. Esto es porque la energía de un electrón en órbita es relativa a la energía de un electrón que se ha separado por completo de su núcleo, n, equals, infinity, lo cual por definición tiene una energía de 0, start text, e, V, end text. Puesto que un electrón en órbita alrededor del núcleo es más estable que un electrón que está infinitamente lejos de su núcleo, la energía de un electrón en órbita es siempre negativa.

Absorción y emisión

Ahora Bohr podía describir el proceso de absorción y emisión en términos de estructura electrónica. De acuerdo con el modelo de Bohr, un electrón absorbería energía en forma de fotones para excitarse y pasar a un nivel de energía más alto siempre y cuando la energía del fotón fuera igual a la diferencia entre los niveles de energía final e inicial. Después de saltar al nivel de energía más alto —también llamado el estado excitado— el electrón excitado estaría en una posición menos estable, así que rápidamente emitiría un fotón para caer a un nivel de energía más bajo y más estable.

Los niveles de energía y transiciones entre ellos se pueden ilustrar usando un diagrama de niveles de energía, como el ejemplo anterior que muestra a los electrones cayendo al nivel n, equals, 2 del hidrógeno. La energía del fotón emitido es igual a la diferencia en energía entre los dos niveles de energía para una transición particular. La diferencia de energía entre los niveles de energía n, start subscript, a, l, t, o, end subscript y n, start subscript, b, a, j, o, end subscript se puede calcular usando la ecuación para E, left parenthesis, n, right parenthesis de la sección previa:

$\begin{aligned} \Delta E &= E(n_{alto})-E(n_{bajo}) \\ \\ &=\left( -\dfrac{1}{{n_{alto}}^2} \cdot 13.6\,\text{eV} \right)-\left(-\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2} \cdot 13.6\,\text{eV}\right) \\ \\ &= \left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot 13.6\,\text{eV} \end{aligned}$

Puesto que también conocemos la relación entre la energía del fotón y su frecuencia por la ecuación de Planck, podemos resolver para la frecuencia del fotón emitido:

$\begin{aligned} h\nu &=\Delta E = \left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot 13.6\,\text{eV} ~~~~~~~~~~~~\text{Iguala la energía del fotón a la diferencia de energía.}\\ \\ \nu &= \left(\dfrac{1}{{n_{bajo}}^2}-\dfrac{1}{{n_{alto}}^2}\right) \cdot \dfrac{13.6\,\text{eV}}{h}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Resuelve para la frecuencia.}\end{aligned}$

También podemos encontrar la ecuación para la longitud de onda de la radiación electromagnética emitida usando la relación entre la velocidad de la luz start text, c, end text, la frecuencia \nu y la longitud de onda lambda:

$\begin{aligned}\text c &=\lambda \nu ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Reorganiza para despejar }\nu . \\\\ \dfrac{\text c}{\lambda}&=\nu=\left(\dfrac{1}{{n_{low}}^2}-\dfrac{1}{{n_{high}}^2}\right) \cdot \dfrac{13.6\,\text{eV}}{h}~~~~~~~~~~~~~~\text{Divide ambos lados entre c para despejar }\dfrac{1}{\lambda}.\\\\ \\\\ \dfrac{1}{\lambda} &=\left(\dfrac{1}{{n_{low}}^2}-\dfrac{1}{{n_{high}}^2}\right) \cdot \dfrac{13.6\,\text{eV}}{h\text c} \end{aligned}$

[¿Qué pasa con la constante de Rydberg?]

Por tanto, podemos ver que la frecuencia —y la longitud de onda— del fotón emitido depende de las energías de las capas iniciales y finales de un electrón en el hidrógeno.

¿Qué hemos aprendido desde que Bohr propuso este modelo del hidrógeno?

El modelo de Bohr funcionó muy bien para explicar el átomo de hidrógeno y otros sistemas de un electrón como start text, H, e, end text, start superscript, plus, end superscript. Desafortunadamente, no lo hizo tan bien cuando se aplicó al espectro de átomos más complejos. Además, con el modelo de Bohr no se podía explicar por qué algunas líneas son más intensas que otras o por qué algunas líneas espectrales se dividen en varias líneas en presencia de un campo magnético, el efecto Zeeman.

En las siguientes décadas, el trabajo hecho por científicos como Erwin Schrödinger mostró que se puede pensar que los electrones se comportan como ondas y como partículas. Esto significa que no es posible saber tanto la posición del electrón en el espacio como su velocidad al mismo tiempo, un concepto que es expresado más precisamente en el principio de incertidumbre de Heisenberg. El principio de incertidumbre contradice la idea de Bohr de que los electrones existen en órbitas específicas con una velocidad y radio conocidos. En lugar de eso, solo podemos calcular probabilidades de encontrar electrones en una región particular del espacio alrededor del núcleo.

El modelo mecánico cuántico moderno podría sonar como un salto grande desde el modelo de Bohr, pero la idea clave es la misma: la física clásica no es suficiente para explicar todos los fenómenos a nivel atómico. Bohr fue el primero en reconocer esto al incorporar la idea de cuantización en la estructura electrónica del átomo de hidrógeno, y de ese modo fue capaz de explicar el espectro de emisión del hidrógeno, así como otros sistemas de un electrón.

[Créditos y referencias.]