Ejemplo resuelto: usar la ley de velocidad integrada de primer orden y ecuaciones de vida media

ya hemos visto la reacción que convierte al ciclo propano en propano y vimos que era una reacción de primer orden y también vimos que a 500 grados centígrados la constante de velocidad es de 6.7 por 10 a la menos 4 por 1 en 3 segundos en un vídeo anterior y ahora en este ejercicio en el inciso a tenemos que ver si la concentración inicial del ciclo propano es de 0.05 molar cuál será la concentración del ciclo propano después de 30 minutos y lo que vamos a hacer para resolver este inciso es utilizar la ley de velocidad integrada de esta reacción ahora como se trata de una reacción de primer orden la ley de la velocidad integrada o bueno una de sus formas es el logaritmo natural de la concentración del reactivo en cualquier tiempo t es igual a menos la constante de velocidad por el tiempo que escogimos más el logaritmo natural de la concentración del reactivo al tiempo cero y en este ejercicio el reactivo a es el ciclo propano aunque hay 73 h 6 y entonces la ley de la velocidad integrada para esta reacción y el logaritmo natural del ciclo propano al tiempo t es igual a menos la constante de velocidad de esta reacción que la tenemos por aquí que es 6.7 por 10 al menos 4 y luego tenemos que multiplicar esto por el tiempo pero aquí nos piden la concentración del ciclo propano después de 30 minutos nos dan el tiempo en minutos mientras que la constante de velocidad de la reacción la tenemos en segundos entonces pues queremos convertir a este tiempo a segundos entonces tenemos por aquí 30 minutos y en cada minuto tenemos 60 segundos entonces si multiplicamos 30 minutos por esto de aquí minutos se cancela con minuto y nos queda 1800 segundos 800 segundos 30 minutos son 1800 segundos que entonces ponemos por aquí 1800 segundos que es el tiempo que queremos esperar y luego le queremos sumar el logaritmo natural de la concentración inicial del ciclo propano great pero en este inciso nos dicen que la concentración inicial del ciclo propano es 0.05 molar ok entonces tenemos que poner por aquí 0.05 molar bueno lo que nos piden que encontremos es la concentración del ciclo propano 30 minutos después queremos encontrar esto de aquí pero pues tenemos este logaritmo natural de aquí que nos tenemos que deshacer de él para deshacernos de él lo que vamos a hacer es exponencial a ambos lados del igual entonces la exponencial con el logaritmo natural se cancelan y nos queda simplemente la concentración de c 3 h 6 ciclo propano al tiempo te iguala 30 minutos y para obtener cuánto vale esto vamos a sacar la calculadora menos 6.7 por 10 a lo menos 4 y eso lo queremos multiplicar por 1800 y a eso le queremos sumar el logaritmo natural de 0.05 ok y finalmente queremos elevar a toda esa suma y nos queda 0.0 14 es 9 que se redondea a 0 puntos 0 15 en la calculadora obtuvimos que todo esto de aquí es cero puntos 0 15 y sabemos que son molares y esta concentración es el tiempo está igual a 30 minutos ahora en realidad no era necesario utilizar precise de esta fórmula también podríamos haber utilizado la fórmula de la concentración como función del tiempo que ya vimos en otro vídeo aunque hay también podríamos haber utilizado la fórmula que nos dice que la concentración del ciclo propano a un tiempo t es igual a la concentración inicial del ciclo propano o sea cuando el tiempo es igual a 0 por el ala menos k t qué bueno si haces algunas cuentas puedes observar que esta fórmula se deriva de esta fórmula simplemente tomando la exponencial de estos dos lados del igual que hoy vamos a hacer básicamente esto pero de una forma un poquito más simplificada entonces la concentración del ciclo propano al tiempo t igual a 30 minutos es igual a la concentración inicial del ciclo propano que lo que nos dice este ejercicio es que es 0.05 molar y la multiplicamos por el elevado a la menos la constante de velocidad es 6.7 por 10 a lo menos 4 sea 6.7 por 10 a la menos cuatro por el tiempo estamos en t igual a 30 minutos pero 30 minutos es igual a 1800 segundos entonces pues vamos a sacar la calculadora y nos tiene que quedar exactamente el mismo resultado que ponemos menos 6.7 por 10 a lo menos 4 y eso lo multiplicamos por 1800 y elevamos a la eso y nos queda punto 299 y eso lo queremos multiplicar por punto 05 y nos queda punto 0 14 9 que otra vez se redondea como 0.0 15 ok esto que tenemos aquí nos dio exactamente el mismo resultado la concentración del ciclo propano al tiempo t igual a 30 minutos es igual a cero punto cero 15 molar bueno entonces vamos con la siguiente pregunta nos preguntan cuánto tiempo se tarda la concentración del ciclo propano en llegar a 0.01 molar y bueno para resolver esta pregunta otra vez realmente no importa cuál de las formas de la ley de velocidad integrada utilicemos entonces pues voy a utilizar la primera aunque hay que nos dice que el logaritmo natural del reactivo a un tiempo t es igual a menos la constante de velocidad por el tiempo más el logaritmo natural de la concentración del reactivo al inicio la concentración inicial aunque esta es la forma de la ley de velocidad integrada que vamos a utilizar y vamos a sustituir toda la información que tenemos en este ejercicio a ver veamos aquí lo que queremos saber es el tiempo que cuánto tiempo se tarda la concentración del ciclo propano en llegar a 0.01 molar entonces sabemos que en el tiempo que nos interesa que todavía no sabemos cuál es porque es justo lo que queremos averiguar pero en ese tiempo la concentración del ciclo propano es de 0.01 molar así es que tenemos que sustituir 0.01 molar aquí entonces tenemos que el logaritmo natural 0.01 molar tiene que ser igual a menos la constante de velocidad de la reacción que como vimos el inicio del vídeo es 67 por 10 a la menos 4 y eso lo estamos multiplicando por el tiempo que queremos encontrar más el logaritmo natural de la concentración inicial del ciclo propano pero la concentración inicial del ciclo propano 0.05 molar así es que con un poco de álgebra podemos despejar a esta te y así ya encontramos el tiempo y listo para despejar a te ponemos por aquí tenemos el logaritmo natural de 0.01 y luego le restamos el logaritmo natural de 0.05 y dividimos todo eso entre menos 6.7 por 10 a la menos 4 pero necesitamos más espacio estamos dividiendo entre menos 6 puntos 7 por 10 al menos 4 y eso es igual a t que es lo que estamos buscando y bueno pues entonces vamos a sacar la calculadora ponemos por aquí el logaritmo natural de punto cero uno menos el logaritmo natural de 0.05 eso lo dividimos entre menos 6.7 por 10 al menos 4 y nos queda 2400 2.15 y el tiempo es igual lo redondeamos a 2402 y pues como aquí tenemos la constante de velocidad de reacción en segundos entonces estos de aquí son segundos y lo podemos dejar en segundos o lo podemos convertir a minutos acá y entonces cuántos minutos son estos lo puedes hacer en tu cabeza o podemos sacar la calculadora que ahí tenemos dos mil cuatrocientos dos segundos y lo dividimos entre hay 60 segundos por minuto estos segundos se cancelan con estos segundos de aquí y 1 entre 1 entre minutos nos dejas simplemente minutos y por aquí 2.402 entre 60 pues ahora si sacamos la calculadora tenemos aquí 2.402 y lo dividimos entre 60 nos da aproximadamente 40 entonces es aproximadamente 40 minutos la concentración del ciclo propia no se tarda aproximadamente 40 minutos en llegar a una concentración de 0.01 molar bueno ahora vamos con la siguiente pregunta cuál es la vida media del ciclo propano y para contestar esta pregunta tenemos que recordar el vídeo pasado nunca y la vida media denotada como un medio para reacciones de primer orden que es justo este tipo de reacción que estamos analizando el tiempo medio es igual a 0.6 93 entre la constante de velocidad de la reacción porque hay entonces la vida media del ciclo propano es 0.6 93 / y la constante de velocidad de esta reacción es 6.7 por 10 a la menos 4 por 1 entre segundos entonces para calcular esta vida media simplemente tenemos que sacar la calculadora y ponemos 0.6 93 entre 6.7 por 10 a lo menos 4 y nos da mil 34 punto 33 aunque hay entonces la vida media del ciclo propano es mil 34 y aquí tenemos 1 entre 1 en 3 segundos y nos queda simplemente segundos que es lo que nos debe de quedar así es que esta es la vida media del ciclo propano ahora si quisiéramos la vida media en minutos simplemente sacamos la calculadora y dividimos 1.034 entre 60 y nos queda 17.24 aunque ahí nos queda aproximadamente 17 minutos pero recuerda que significa la vida media la vida media es el tiempo que se tarda un reactivo en pasar de la concentración a una concentración de exactamente la mitad de la concentración inicial aunque hay así es que si empezamos con una concentración inicial de 0.05 molar la vida media es cuánto tiempo se tarda en llegar a una concentración de 0.0 25 molar y lo que acabamos de calcular es que se tarda 17 minutos entonces esta es la vida media ahora si luego nos preguntamos cuánto tiempo se tarda en llegar a una concentración de la mitad de esta o sea en llegar a una concentración de 0.0 125 molar nos estamos preguntando otra vez por cuál es la vida media y pues son otra vez 17 minutos