Vida media de una reacción de primer orden

tenemos aquí una forma de la ley integrada de velocidad para reacciones de primer orden y vamos a seguir utilizando matemáticas y haciendo cuentas y eventualmente vamos a hablar acerca de la vida media tenemos por aquí el logaritmo de la concentración de al tiempo t - el logaritmo de la concentración inicial de a y esto por propiedades de los logaritmos es exactamente igual al logaritmo natural de la concentración de al tiempo t entre la concentración de a el tiempo cero ok eso es simplemente una de las propiedades del logaritmo y esto es igual a menos que te ok menos la constante de velocidad de tu reacción por el tiempo ahora pues queremos deshacernos del logaritmo natural entonces lo que vamos a hacer es tomar e y elevarlo a logaritmo natural de esta fracción y eso tiene que ser igual a tomar e y elevarlo a la menos k t entonces si tomamos e y lo elevamos a logaritmo natural de esta fracción nos queda simplemente esta fracción así es que tenemos la concentración de a al tiempo t entre la concentración inicial de a y tenemos que es igual a el elevado a la menos acá y ahora vamos a multiplicar de los dos lados del igual por la concentración inicial de a entonces tenemos que la concentración de al tiempo t es igual en la concentración inicial de a por el ala menos que de y ya que llegamos a esta fórmula es muchísimo más fácil pensar en la gráfica de la concentración de a con respecto al tiempo entonces en el eje de las vamos a poner la concentración de iu en el eje de las equis vamos a poner el tiempo y entonces estamos graficando la concentración de a conforme pasa el tiempo y bueno como podemos observar lo que tenemos aquí es un decaimiento exponencial porque la concentración de a con respecto al tiempo se comporta como una a la menos el tiempo por algunas constantes y por aquí ya dibujé una gráfica de un decaimiento exponencial entre ellas si se ve la gráfica del decaimiento exponencial entonces si por ejemplo tomamos este punto lo obtenemos cuando el tiempo es exactamente igual a cero entonces si en esta fórmula sustituimos t por cero lo que obtenemos es la concentración inicial de a que la tenemos aquí por el ala menos k por cero porque tenemos el tiempo igual a cero por cero y al acero es simplemente un 1 y entonces este punto es la concentración de a cuando el tiempo es igual a 0 en fin como podemos observar en esta gráfica entre más aumentamos el tiempo más decrece la concentración de a al tiempo t y esta es la forma en la que decrece una exponencial y además sabemos que conforme el tiempo tiende a infinito la concentración de a en ese tiempo tiende a cero y podemos ver que estos puntos están cada vez más cerca del cero pero nunca llega a tocarlo porque ella sí es que conforme el tiempo aumenta la concentración de a se acerca al cero pero nunca lo toca simplemente se acerca cada vez más y ese es el chiste del decaimiento exponencial bueno ahora sí vamos a pensar en la vida media tenemos una definición por aquí que nos dice que la vida media es el tiempo que se tarda la concentración de un reactivo en decrecer a la mitad de la concentración inicial entonces pues tenemos la concentración inicial de un reactivo y la vida media es cuánto tiempo nos tardamos en que la concentración inicial se reduzca a la mitad así es que lo que vamos a hacer es tomar esto de aquí y colocarlo por acá y luego el tiempo que nos interesa el tiempo que estamos tratando de encontrar es la vida media que generalmente se describe como una t de tiempo y por aquí un medio y entonces vamos a sustituir esta incógnita en nuestra fórmula pues vamos a despejar la vida media por aquí en la izquierda al tiempo de la vida media tenemos que la concentración de a la concentración inicial de a sobre 2 y eso es igual a la concentración inicial de a por el ala menos k por la vida media ahora necesitamos más espacio aquí lo que podemos hacer es cancelar la concentración inicial de los dos lados y entonces nos queda que un medio es igual a la menos que por la vida media y ahora necesitamos deshacernos de esta exponencial entonces vamos a sacar el logaritmo natural de los dos lados y tomamos el logaritmo natural de esto de aquí y tomamos el logaritmo natural de un medio logaritmo natural y exponencial se cancelan porque son funciones inversas y lo que nos queda es que el logaritmo natural de un medio es igual a menos que por la vida media y pues estamos tratando de despejar a t un medio entonces dividimos entre menos acá y nos queda que t un medio que es la vida media es igual a menos el logaritmo natural de un medio entre acá bueno y entonces vamos a sacar la calculadora y ponemos logaritmo natural de puntos 5 y nos salen menos punto 69 3 y la vida media es igual a 0.69 3 / ka que es la constante de velocidad de la reacción esta es la vida media de una reacción de primer orden ahora aquí hay una cosa que tenemos que observar que es súper interesante e importante y es que pues bueno la constante de velocidad de la reacción es una constante y por aquí este número de aquí también es una constante así es que la vida media es una constante y no depende para nada de la concentración inicial y eso pasa pues porque aquí se cancelarán las concentraciones iniciales y bueno eso no sucede con todos los órdenes de reacción pero si pasa para todas las reacciones de primer orden la vida media de cualquier reacción de primer orden es una constante no depende de la concentración inicial y ahora vamos a pensar qué es lo que significa esto para una reacción en un ejemplo como el que tenemos aquí que hay digamos que tenemos una reacción por aquí y voy a representar esta concentración inicial con 8 puntos 1 2 3 4 5 6 7 8 ok entonces tenemos aquí nuestra concentración inicial y vamos a esperar el tiempo que sea necesario hasta que la concentración haya disminuido a la mitad entonces para ese momento habremos perdido a la mitad de nuestro reactivo entonces nada más tendremos cuatro puntitos y nos podemos preguntar dónde se encuentra ese momento en nuestra gráfica así es que nos fijamos en este punto de aquí esta es nuestra concentración inicial de ocho puntitos este es el eje de las concentraciones y tenemos la mitad de la concentración inicial así es que estamos más o menos por aquí y entonces nos vamos a la gráfica y encontramos este punto de aquí ahora bajamos una línea recta nuestro eje x que nos dice los tiempos esto de aquí nos dice que obtenemos esta concentración en este tiempo y bueno pongamos algunos tiempos por aquí digamos que estos son 10 segundos 20 segundos 30 segundos 40 y 50 entonces lo que podemos observar aquí es que nos tardamos 10 segundos en disminuir la concentración de a exactamente a la mitad aunque la primera vida media es de 10 segundos escribamos lo por aquí tenemos que la primera vida media es igual a 10 segundos y lo repito esta reacción me la acabo de inventar para explicar el concepto de vida media pero bueno entonces ahora tenemos cuatro puntitos y nos podemos preguntar por cuánto tiempo se van a tardar estos puntitos en que la mitad de ellos reaccione y se vuelva un producto que hay cuánto tiempo nos vamos a tardar en tener la mitad de los reactivos o sea en tener dos reactivos y lo que hacemos es ir a la gráfica que hay por aquí ahora esta es la concentración inicial y la mitad de la concentración inicial está por aquí así es que nos vamos a la curva encontramos este punto de aquí y vemos en qué tiempo sucede esto y cuánto tiempo nos tardamos en decrecer la concentración de a a la mitad y otra vez fueron 10 segundos así es que esta vida media también fueron 10 segundos y lo podemos volver a hacer ok cuánto tiempo nos tardaremos en que decrezca la concentración inicial de dos puntitos a la mitad de la concentración o sea un puntito nos fijamos en donde está la concentración inicial queremos buscar la mitad de la concentración buscamos el puntito en la gráfica a esta altura osea este punto de aquí dejemos la perpendicular al eje de las equis y obtenemos el tiempo y como podemos observar otra vez fueron 10 segundos entonces la vida media es otra vez 10 segundos como observamos cuando estábamos haciendo las cuentas y como podemos observar en esta gráfica y en este ejercicio de aquí la vida media es independiente de la concentración inicial no importa si empezamos con 8 partículas o 4 o 2 la vida media es siempre la misma ok eso es lo que pasa con la vida media de las reacciones de primer orden